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高等数学
第一章 函数与极限
§1.1 映射与函数
- 映射
- 映射概念
- 定义：
-
设 $X$、$Y$ 是两个非空集合，如果存在一个法则 $f$ 使得对 $X$ 中每个元素 $x$，按法则 $f$ 在 $Y$ 中有唯一确定的元素 $y$ 与之对应那么称 $f$ 为从 $X$ 到 $Y$ 的映射，记作：
\[f:X \rightarrow Y\]其中
- 元素 $y$ 称为元素 $x$ （在映射 $f$ 下）的像，并记作 $f(x)$，即 \(y=f(x)\)
- 元素 $x$ 称为元素 $y$（在映射 $f$ 下）的一个原像
- 集合 $X$ 称为映射 $f$ 的定义域，记作 $D_f$，即 $D_f=X$
- $X$ 中所有元素的像所组成的集合称为映射 $f$ 的值域，记作 $R_f$ 或 $f(X)$
注意 $f(x)$ 与 $f(X)$ 的区别：
- $f(x)$ 是元素 $x$ 的像，
- $f(X)$ 是映射 $f$ 的值域 $R_f$
-
- 映射的三要素：
- 集合 $X$，即定义域 $D_f=X$
- 集合 $Y$，即值域的范围：$R_f \subset Y$
- 对应法则 $f$，使对每个 $x \in X$，有唯一确定的 $y=f(x)$ 与之对应
- 规则：
- 对每个 $x \in X$，元素 $x$ 的像 $y$ 是唯一的；而对每个 $y \in R_f$，元素 $y$ 的原像不一定是唯一的
- 映射 $f$ 的值域 $R_f$是 $Y$ 的一个子集，即 $R_f \subset Y$，但不一定 $R_f=Y$
- 类型
- 满射：设 $f$ 是从集合 $X$ 到集合 $Y$ 的映射，若 $R_f=Y$，即 $Y$ 中任一元素 $y$ 都是 $X$ 中某元素的像，则称映射 $f$ 为 $X$ 到 $Y$ 的满射
- 单设：若对 $X$ 中任意两个不同元素 $x_1 \neq x_2$，它们的像 $f(x_1) \neq f(x_2)$，则称映射 $f$ 为 $X$ 到 $Y$ 的单射
- 一一映射（双射）：若映射 $f$ 既是满射，又是单设，则称该映射 $f$ 为一一映射（或双射）
- 定义：
- 逆映射
- 定义
-
已知 $f$ 是 $X$ 到 $Y$ 的 单射，我们可以定义一个从值域 $R_f$ 到 $X$ 的新映射 $g$，即：
\[g:R_f \rightarrow X\]对每个 $y \in R_f$，规定 $g(y)=x$，这 $x$ 满足 $f(x)=y$，则这个映射 $g$ 称为 $f$ 的逆映射
注意：只有单射才存在逆映射，若非单射，则存在定义域中的多个元素对应值域中的同一个元素，若逆之则会存在定义域中一个元素对应值域中的多个元素，这是不符合映射定义的
-
- 定义
- 复合映射
- 定义
-
设有两个映射：
\[g:X \rightarrow Y_1 \qquad f:Y_2 \rightarrow Z\]其中 $Y_1 \subset Y_2$，则由映射 $g$ 和 $f$ 可以定出一个从 $X$ 到 $Z$ 的对应法则，它将每个 $x \in X$ 映成 $f[g(x)] \in Z$ 显然，这个对应法则确定了一个从 $X$ 到 $Z$ 的映射，这个映射称为映射 $g$ 和 $f$ 构成的复合映射，记作 $f \circ g$，即：
\[f \circ g:X \rightarrow Z \qquad (f \circ g)(x)=f[g(x)] \quad x \in X\]注意：映射 $g$ 和 $f$构成复合映射的条件是：$g$ 的值域 $R_g$ 必须包含在 $f$ 的定义域 $D_f$ 内，否则不能构成复合映射，由此：
- $f \circ g$ 有意义不代表 $g \circ f$ 有意义
- 即使 $f \circ g$ 与 $g \circ f$ 都有意义，两者也未必相同
-
- 定义
- 映射概念
- 函数
- 函数概念
-
定义：设数集 $D \subset R$，则称映射 $f：D\to R$ 为定义在 $D$ 上的函数，通常简记为
\[y=f(x) \quad x \in D\]- 其中
- $x$ 为 <自变量
- $y$ 为 <因变量
- $D$ 称为 定义域，记作 $D_f$，即 $D_f = D$
- 对每个 $x \in D$，按对应法则 $f$，总有唯一确定的值 $y$ 与之对应，这个值称为函数 $f$ 在 $x$ 处的 函数值，记作 $f(x)$，即 $y=f(x)$
- 因变量 $y$ 与自变量 $x$ 之间的这种依赖关系，通常称为 函数关系
- 函数值 $f(x)$ 的全体所构成的集合称为函数 $f$ 的 值域，记作 $R_f$ 或 $f(D)$，即
注：
- 习惯上用记号 “$f(x), x \in D$” 或 “$y=f(x), x \in D$” 来表示定义在 $D$ 上由法则 $f$ 所确定的函数，但事实上 $f(x)$ 仅指 $x$ 对应的函数值
- 只有实数集到实数集的映射才是函数
- 其中
- 构成函数的要素
- 定义域 $D_f$
- 对应法则 $f$
- 函数相等条件：
- 两个函数的定义域相同
- 对应法则也相同
- 函数的定义域的确定：
- 对有实际背景的函数，根据实际背景中变量的实际意义确定。
- 抽象地用算式表达的函数，通常约定这种函数的定义域是使得算式有意义的一切实数组成的集合，这种定义域称为函数的自然定义域。用 $y=f(x)$ 表达
- 表示方法：
- 表格法
- 图形法：即坐标平面上的点集 ${P(x,y) \mid y=f(x), x \in D}$ 称为函数 $y=f(x), x \in D$ 的图形。
- 解析法（公式法）
-
- 函数的几种特性
-
有界性 设函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$，数集 $X \subset D$，如果存在数 $K_1$，使得
\[f(x) \le K_1\]对任一 $x \in X$ 都 成立，那么称函数 $f(x)$ 在 $X$ 上有上界，而 $K_1$ 称为函数 $f(x)$ 在 $X$ 上的一个上界 如果存在数 $K_2$，使得
\[f(x) \ge K_2\]对任一 $x \in X$ 都成立，那么称函数 $f(x)$ 在 $X$ 上有下界，而 $K_2$ 称为函数 $f(x)$ 在 $X$ 上的一个下界。如果存在正数 $M$，使得
\[\lvert f(x) \rvert \le M\]对任一 $x \in X$ 都成立，那么称函数 $f(x)$ 在 $X$ 上有界。如果这样的 $M$ 不存在，就称函数 $f(x)$ 在 $X$ 上无界
- 单调性
- 设函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$，区间 $I \subset D$。如果对于区间 $I$ 上任意两点 $x_1$ 及 $x_2$，当有 $x_1 < x_2$ 时，恒有
那么称函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上是单调增加的；如果对于区间 $I$ 上任意两点 $x_1$ 及 $x_2$，当 $x_1 < x_2$ 时，恒有
\[f(x_1) > f(x_2)\]那么称函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上是单调减少的。单调增加和单调减少的函数统称为单调函数
- 奇偶性
- 设函数 $f(x)$ 的定义域 $D$ 关于原点对称。如果对于任一 $x \in D$，
恒成立，那么称 $f(x)$ 为偶函数 如果对于任一 $x \in D$，
\[f(-x) = -f(x)\]恒成立，那么称 $f(x)$ 为奇函数
偶函数的图形关于 $y$ 轴是对称的，奇函数的图形关于原点是对称的。
- 周期性
- 设函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$。如果存在一个正数 $l$，使得对于任一 $x \in D$ 有 $(x \pm l) \in D$，且
恒成立，那么称 $f(x)$ 为周期函数， $l$ 称为 $f(x)$ 的周期，通常我们说的周期函数的 周期 是指最小正周期。
-
- 反函数
- 作为逆映射的特例，我们有以下反函数的概念
- 定义：设函数 $f:D\to f(D)$ 是单射，则它存在逆映射 $f^{-1}: f(D) \to D$，称此映射 $f^{-1}$ 为函数 $f$ 的反函数
-
按此定义，对每个 $y \in f(D)$，有唯一的 $x \in D$，使得 $f(x) = y$，于是有
\[f^{-1}(y)= x\]这就是说，反函数 $f^{-1}$ 的对应法则是完全由函数 $f$ 的对应法则所确定的。
- 一般地，$y=f(x), x \in D$ 的反函数记成 $y=f^{-1}(x), x \in f(D)$
- 若 $f$ 是定义在 $D$ 上的单调函数，则其反函数 $f^{-1}$ 也是 $f(D)$ 上的单调函数
- 复合函数
-
定义 设函数 $y=f(u)$ 的定义域为 $D_f$，函数 $u=g(x)$ 的定义域为 $D_g$，且其值域 $R_g \subset D_f$，则由下式确定的函数
\[y=f[g(x)], x \in D_g\]称为由函数 $u=g(x)$ 与函数 $y=f(u)$ 构成的复合函数，它的定义域为 $D_g$，变量 $u$ 称为中间变量
-
函数 $g$ 与函数 $f$ 构成的复合变量，即按先 “$g$ 后 $f$” 的次序复合的函数，通常记为 $f \circ g$，即
\[(f \circ g)(x) = f[g(x)]\] -
$g$ 与 $f$ 能构成复合函数 $f \circ g$ 的条件：函数 $g$ 的值域 $R_g$ 包含于函数 $f$ 的定义域 $D_f$，即 $R_g \subset D_f$
-
- 函数的运算
- 设函数 $f(x), g(x)$ 的定义域依次为 $D_f, D_g, D=D_f \cap D_g \ne \emptyset$，则：
- 和（差）：$f \pm g: (f\pm g)(x)=f(x)\pm g(g), x \in D$
- 积：$f \cdot g : (f\cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)$
- 商：$\frac{f}{g}: (\frac{f}{g})(x) = \frac{f(x)}{g(x)}, {x \mid g(x)\ne 0, x \in D}$
- 设函数 $f(x), g(x)$ 的定义域依次为 $D_f, D_g, D=D_f \cap D_g \ne \emptyset$，则：
- 初等函数
- 幂函数：$y = x^\mu, (\mu \in R$ 是常数$)$
- 指数函数：$y = a^x (a>0$ 且 $a \ne 1)$
- 对数函数：$y = log_ax (a>0 且 a\ne 1$, 特别当 $a = e$ 时，记为 $y=\ln x)$
- 三角函数：$y = \sin x, y = cos x, y = tan x$ 等，
- 反三角函数：$y = \arcsin x, y = \arccos x, y = \arctan x$ 等。
- 以上五类函数统称为基本初等函数
- 由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数
- 函数概念
题型与方法
- 判断函数等价性
- 方法：
- 判断定义域是否相同
- 判断对应法则是否相同 若都相同，则函数相同，否则函数不同
- 方法：
- 求函数定义域
- 方法：
函数定义域遵循以下原则：
- 分母不为零
- 偶次根式的被开方数大于等于 0
- 对数真数大于 0
-
$\arcsin x$ 或 $\arccos x$ 的定义域为 ${x\big ~ x \le 1}$ -
$\tan x$ 的定义域为 ${x\big x\neq kx+\frac{\pi}{2},k\in\rm{Z}}$ -
$\cot x$ 的定义域为 ${x\big x\neq\frac{k\pi}{2},k\in \rm{Z}}$
- 方法：
函数定义域遵循以下原则：
- 求函数表达式
- 方法
- 解简单函数方程的基本方法：
- 观察法
- 变量代换法
- 利用函数表示法的“变量无关性”判断：当两个函数定义域相同且对应法则一致时，这两个函数表示同一个函数
- 解简单函数方程的基本方法：
- 方法
- 求函数的奇偶性
- 方法
- 判断函数定义域是否关于原点对称，若不对称则既不是奇函数也不是偶函数
- 利用 $f(x)$ 与 $f(-x)$ 的关系来判断奇偶性
- 若 $f(-x)=f(x)$ 则为偶函数
- 若 $f(-x)=-f(x)$ 则为奇函数
- 方法
- 判断函数单调性
- 方法：
- 若函数在区间 $D$ 上可导，则求出其导数并判断其正负从而得出函数单调性
- 是用单调性的定义取求证，$\forall x_1,x_2$ 满足 $x_1<x_2$：
- 若 $f(x_1)\le f(x_2)$ 恒成立，则单调递增
- 若 $f(x_1)\ge f(x_2)$ 恒成立，则单调递减
- 方法：
- 判断函数有界性
- 方法：
- 利用函数有界性的定义，对函数取绝对值，然后对不等式进行放缩
- 利用导数求最值的方法
- 根据连续函数的性质证明
- 方法：
- 求反函数
- 方法：步骤如下
- 把 $x$ 从方程 $y=f(x)$ 中解出
- 把刚才得到的表达式中的 $x$ 与 $y$ 对换，即可得到反函数 $f^{-1}(x)$
特别地，对于分段函数，要牢记所求函数表达式的区间
- 方法：步骤如下
- 计算函数周期
- 方法：
- 从定义出发，找到 $T\neq 0$，使得 $f(x+T)=f(x)$
- 利用周期函数的运算性质证得
-
例：迪利克雷函数
\[D(x)= \begin{cases} 1\quad(x\in Q)\\ 0\quad(x\in Q^C)\\ \end{cases}\]其中 $Q$ 表示有理数 $Q^C$ 表示无理数，求出这个函数的周期
- 解： $\because$ 一个有理数加上一个有理数还是有理数，而一个无理数加上一个有理数还是一个无理数 $\therefore$ 根据周期函数定义，很容易得到这个函数的周期为任意有理数 $\because$ 因为没有最小的有理数 $\therefore$ 这个函数没有最小正周期
- 方法：
§1.2 数列的极限
- 数列
-
定义如果按某一法则，对每个 $n \in N_+$，对应着一个确定的实数 $x_n$，这些实数 $x_n$ 按下标从小到大排列得到的一个序列：
\[x_1,x_2,x_3,···x_n,···\]就叫数列，简记为 ${x_n}$ 其中：
- 数列中的每一个数，叫数列的项
- 第 $n$ 项叫做数列的一般项（或通项）
-
- 数列极限
-
定义 设 ${x_n}$ 为一数列，如果存在常数 $a$，对于任意给定的正数 $\varepsilon$（不论多么小），总存在正整数 $N$，使得当 $n>N$ 时，不等式
\[|x_n-a|< \varepsilon\]都成立，那么称常数 $a$ 是数列 ${x_n}$ 的极限，或者称数列 ${x_n}$ 收敛与 $a$ 记为
\[\lim_{n \to \infty}=a\]或
\[x_n \to a(n \to \infty)\]
-
- 发散数列
- 定义：如果数列不存在极限，那么数列就是发散的，习惯上也说 $\lim_{n \to \infty}x_n$ 不存在
- 收敛数列
- 定义：数列存在极限则收敛
- 性质
- 定理：极限唯一性
- 内容：如果数列 ${x_n}$ 收敛，那么它的极限唯一
- 定理：收敛数列的有界性
- 内容：如果数列 ${x_n}$ 收敛，那么数列 ${x_n}$ 一定有界
- 定理：收敛数列的保号性
- 内容：如果 $\lim_{n \to \infty}x_n=a$，且 $a>0$（或$a<0$），那么存在正整数 $N$，当 $n>N$ 时，都有 $x_n>0$ 或（$x_n<0$）
- 推论：如果数列 ${x_n}$ 从某项起有 $x_n \ge 0$（或$x_n \le 0$），且 $\lim_{n \to \infty}x_n=a$，那么 $a \ge 0$（或 $a \le 0$）
- 定理：收敛数列与子数列的关系
- 内容：如果数列 ${x_n}$ 收敛于 $a$，那么它的任意子数列也收敛于 $a$
- 定理：极限唯一性
题型与方法
- 判断数列是否收敛
- 方法：
- 柯西收敛原理：
-
数列 ${x_n}$ 收敛的充分必要条件为：$\forall\varepsilon >0,\exist$ 正整数 $N$，当 $m,n>N$ 时，恒有 $ x_m-x_n <\varepsilon$
-
- 单调有界准则：单调有界函数必收敛
- 柯西收敛原理：
- 方法：
- 证明数列极限存在
- 方法：
- 用定义证明数列极限存在的步骤：
-
给定任意 $\varepsilon>0$，要使 $ x_n-a <\varepsilon$，经过一系列的放大 $ x_n-a <\cdots<f(n)<\varepsilon$ - 解不等式 $f(n)<\varepsilon$，使 $n>g(\varepsilon)$
- 在上述解集中任取一正整数作为所求 $N$ 即可
-
- 利用单调有界准则
- 用定义证明数列极限存在的步骤：
- 方法：
- 求数列极限
- 方法：求，就硬求[doge]
对于一些较为复杂的式子，可以先简化，再求极限（废话）
- 方法：求，就硬求[doge]
§1.3 函数的极限
- 自变量趋于有限值的函数极限
-
\[| f(x)- A | < \varepsilon\]定义：**设函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某个去心领域内有定义。如果存在常数 $A$，对于任意的正数 $\varepsilon$（不论它有多小），总存在正数 $\delta$ ,使得当 $x$ 满足不等式，$0< x-x_0 < \delta$，对应的函数值 $f(x)$ 都满足不等式：** 那么常数 $A$ 就叫做函数 $\lim_{x \to x_0}f(x)$ 当 $x \rightarrow x_0$ 时的极限，记作
\[\lim_x \to x_0f(x)=A \qquad 或\ f(x)\rightarrow A（当 x \rightarrow x_0）\] -
几何理解：当 $f(x)$ 的极限为 $A$ 时，给定任意正数 $\varepsilon$，做两条平行于 $x$ 轴的直线 $y=A+\varepsilon$、$y=A-\varepsilon$，$x$ 的定义域 $(x,x_0-\delta) \cup (x_0,x_0+\delta)$ 此时任意 $x$ 对应的纵坐标 $f(x)$ 都满足不等式：$ f(x)< A < \varepsilon$
- 单侧极限
- 左侧极限：$x$ 仅从左侧趋近 $x_0$，(记作 $x \rightarrow x_0^-$)，定义则为 $x_0- \delta<x<x_0$，那么 $A$ 叫做函数 $f(x)$ 当 $x \rightarrow x_0$ 的左极限，记作：
- 右侧极限：$x$ 仅从右侧趋近 $x_0$，（记作 $x \rightarrow x_0^+$），定义则为 $x_0<x<x_0+\delta$，那么 $A$ 叫做函数 $f(x)$ 当 $x \rightarrow x_0$ 的右极限，记作：
- 定义：左极限和右极限统称为单侧极限。
-
- 自变量趋于无限的函数极限
-
定义：**函数 $f(x)$ 当 $ x $ 有意义时，如果存在常数 $A$，对一给定的正数 $\varepsilon$，总存在正数 $X$，使得 $x$ 满足不等式 $ x >X$ 时，对应函数值 $f(x)$ 都满足式子：**
那么常数 $A$ 就叫做函数 $f(x)$ 当 $x \rightarrow \infty$ 时的极限，记作：
\[\lim_{x \to \infty}f(x)=A \qquad 或\ f(x) \rightarrow A（当\ x \rightarrow \infty）\]- 几何理解：做两条平行于 $x$ 轴的直线 $y=A+\varepsilon$、$y=A-\varepsilon$，当 $x<-X$ 或 $x>-X$ 时，函数 $y=f(x)$ 位于两条直线之间
-
- 函数极限的性质
- 定理：函数极限的唯一性
- 内容：如果 $\lim_{x \to x_0}$ $f(x)$ 存在，那么这极限唯一；
- 定理：函数极限的局部有界性
-
内容：如果 $\lim_{x \to x_0}f(x)=A$ ，那么存在常数 $M$、$\delta>0$，使得 $0< x-x_0 < \delta$，有 $ f(x) \le M$；
-
- 函数极限的局部保号性
-
内容：如果 $\lim_{x \to x_0}f(x)=A$，且 $A>0$ （或 $A<0$） 那么存在$\delta>0$，当 $0< x-x_0 <\delta$ 时，$f(x)>0$（或 $f(x)<0$）； -
延伸定理：如果 $\lim_{x \to x_0}f(x)=A(A\neq 0)$，那么就存在 $x_0$ 的一个去心领域，当 $x$ 属于这个领域时，则有$ f(x) >\frac{ A }{2}$ - 推论：如果在 $x_0$ 的去心领域内，$f(x)\ge 0$ （或$f(x)\le 0$），而且$\lim_{x \to x_0}f(x)=A$，则A $\ge$ 0 （或 $A \le 0$）
-
- 定理：函数极限与数列极限的关系
- 内容：如果极限 $\lim_{x \to x_0}f(x)$ 存在，${x_n}$ 为函数 $f(x)$ 的定义域内任一收敛于 $x_0$ 的数列，且满足：$x_n \ne x_0$($n$ 为自然数)，那么对应的函数值数列 ${f(x_0)}$必收敛，且 $\lim_{n \to \infty}f(x_n)=\lim_{x \to \ x_0}f(x)$
- 定理：函数极限的唯一性
题型与方法
- 定义法证明函数极限存在
- 方法：步骤如下
-
$\forall\varepsilon>0$，由不等式 $ f(x)-A <\varepsilon$ 经 一系列放大得 $ f(x)-A <\cdots<C x-x_0 <\varepsilon$（$c$ 为常数） -
解不等式 $C x-x_0 <\varepsilon$，得 $x-x_0<\frac{\varepsilon}{C}$ -
取 $\delta=\frac{\varepsilon}{C}$，则当 $0< x-x_0 <\delta$ 时，总有 $ f(x)-A <\varepsilon$，即 $\lim_{x\to x_0}f(x)=A$ > 关键在于 $\forall\varepsilon>0$，找到 $\delta>0$，常用函数式放大得方法，然后再考虑如何取 $\delta$，若 $x\to x_0$，$x_0$ 为有限值时，在放大的式子中应保留 $ x-x_0 $ 的一个因子
-
- 方法：步骤如下
- 证明函数极限不存在
- 方法：从证明做左、右极限入手，若其中一个极限不存在，或两者都存在极限，但不相等，则函数极限不存在
§1.4 无穷小与无穷大
- 无穷小
- 定义：如果函数 $f(x)$ 当 $x \to x_0$ （或 $x \to \infty$）时的极限为 $0$，那么称函数 $f(x)$ 为当 $x \to x_0$（或 $x \to \infty$）时的无穷小
- 定理：无穷小与函数极限的关系
- 内容：在自变量的同一变化过程 $x \to x_0$ （或 $x \to \infty$）中，函数 $f(x)$ 具有极限 $A$ 的充分必要条件是 $f(x)=A+ \alpha$，其中 $\alpha$ 是无穷小
- 无穷大
如果当 $x \to x_0$ （或 $x \to \infty$）时，对应的函数值的绝对值 $\left\vert f(x) \right\vert$ 可以大于预先指定的任何很大的正数 $M$，那么就称函数 $f(x)$ 是当 $x \to x_0$（或 $x \to \infty$）时的无穷大。
-
定义：设函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某一去心邻域内 有定义（或 $x_0$ 大于某一正数时有定义），如果对于任意给定的正数 $M$（不论它多么大），总存在正数 $\delta$（或正数 $X$），只要 $X$ 适合不等式 $0< \left\vert x-x_0 \right\vert < \delta$ （或 $\left\vert x \right\vert > X$），对应的函数值 $f(x)$ 总满足不等式
\(\left\vert f(x) \right\vert >M\) 那么称函数 $f(x)$ 是当 $x \to x_0$ （或 $x \to \infty$）时的无穷大。
- 铅直渐近线：如果 $\underset{x\to x_0}{\lim}f(x)=\infty$，那么直线 $x=x_0$ 是函数 $y=f(x)$ 的图形的铅直渐近线
- 无穷大与无穷小之间的关系:
- 在自变量的同一变化过程中，如果 $f(x)$ 为无穷大，那么 $\frac{1}{f(x)}$ 为无穷小；反之，如果 $f(x)$ 为无穷小，那么 $\frac{1}{f(x)}$ 为无穷大
-
题型与方法
- 无穷大于无穷小的判定
- 方法：严格遵循定义
注意区分无穷小和有界，无穷大和无界的概念
- 方法：严格遵循定义
§1.5 极限运算法则
- 定理：有限个无穷小的和也是无穷小。
- 定理：有界函数和无穷小的乘积是无穷小。
- 推论：常数和无穷小的乘积是无穷小
- 推论：有限个无穷小的乘积是无穷小
-
定理：如果 $\lim f(x)= A$, $\lim g(x)= B$，那么
- \[\quad \lim [f(x) \pm g(x)]=\lim f(x) \pm \lim g(x)=A \pm B\]
- \[\quad\lim [f(x) \cdot g(x)]=\lim f(x) \cdot \lim g(x)\]
- \(\lim \frac{f(x)}{g(x)}= \frac{\lim f(x)}{\lim g(x)}= \frac{A}{B} \quad (B \ne 0)\)
推论：
- 如果 $\lim f(x)$ 存在，而 $c$ 为常数,则 \(\lim [cf(x)]=c\lim [f(x)]\)
- 如果 $\lim f(x)$ 存在，而 $n$ 为正整数，则 \(\lim [f(x)]^n = [\lim f(x)]^n\)
-
定理：设有数列 ${x_n}$ 和 ${y_n}$，如果
\[\lim_{x \to \infty} x_n=A \qquad \lim_{x \to \infty} y_n=B\]那么：
- \[\lim_{x \to \infty}(x_n\pm y_n)=A \pm B\]
- \[\lim_{x \to \infty}(x_n \cdot y_n)=A \cdot B\]
- \[\lim_{x \to \infty}\frac{x_n}{y_n}=\frac AB \quad (y_n \neq 0,B \neq 0)\]
- 定理：如果 $\varphi(x) \ge \psi(x)$，而 $\lim \varphi(x)=A,\lim \psi(x)=B$，那么 $A\ge B$
-
定理：复合函数的极限运算法则 设函数 $y=f[g(x)]$ 是由函数 $u=g(x)$ 与函数 $y=f(x)$ 复合而成，$f[g(x)]$ 在点 $x_0$ 的某去心邻域内有定义，若
\[\lim_{x \to x_0}g(x)=u_0,\lim_{u \to u_0}f(u)=A\]且存在 $\delta_0>0$，当 $x \in \overset{\circ}{U}(x_0,\delta_0)$ 时，有 $g(x) \neq u_0$，则
\[\lim_{x \to x_0}f[g(x)]=\lim_{u \to u_0}f(u)=A\]
题型与方法
- 求 $\frac{0}{0}$ 型或 $\frac{\infty}{\infty}$ 型极限
- 不能直接用极限的四则运算法则
- 常用方法：
- 消去分子、分母中极限为 $0$ 或 $\infty$ 的因子，然后再用极限的四则运算法则
§1.6 极限存在法则 两个重要极限
- 准则 I：如果数列 ${x_n}、{y_n} 及{z_n}$ 满足下列条件：
1. 从某项起，及 $\exists n_0 \in N$,当 $n>n_0$ 时，有
\(y_n \le x_n \le z_n\)
2. $\lim_{n \to \infty}y_n=a, \lim_{n \to \infty}z_n=a$
那么数列 ${x_n}$ 的极限存在，且 $lim_{n \to \infty}x_n=a$
- 准则 I’： 如果
-
\[g(x) \le f(x) \le h(x)\]当 $x \in \overset{\circ}{U}(x_0,\ r)$ ($x> M $)时， - $\underset{(x \to \infty)}{\lim_{x \to 0}} g(x)=A $,$\underset{(x \to \infty)}{\lim_{x \to 0}}h(x)=A$ 那么 $\underset{(x \to \infty)}{\lim_{x \to 0}}$ 存在，且等于 $A$
-
- 准则 I’： 如果
- 单调数列
-
如果数列 ${x_n}$ 满足条件：
\[x_1 \le x_2 \le x_3 \le \cdots \le x_n \le x_{n+1} \le \cdots\]就称数列 ${x_n}$ 是单调增加的
-
如果数列 ${x_n}$ 满足条件
\[x_1 \ge x_2 \ge x_3 \ge \cdots \ge x_n \ge x_{n+1} \ge \cdots\]就称数列 ${x_n}$ 是单调减少的
- 单调增加和单调减少的数列统称为单调数列
- 准则 II：单调有界函数必有极限
- 内容：如果数列不仅有界，并且是单调的，那么这数列的极限必定存在，也就是这数列一定收敛
- 延伸：设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个左邻域内单调并且有界，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 的左极限 $f(x_0^-)$ 必定存在
-
- 重要极限1：作为准则 I’ 的应用，我们讨论一个重要极限 $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$
- 设 $f(x)=\frac{\sin x}{x}$，首先注意到 $f(x)$ 对于一切 $x\neq 0$ 都有定义
-
在如图所示的四分之一单位圆中，设圆心角 $\angle AOB=x(0<x<\frac{\pi}{2})$，点 $A$ 处的切线与 $OB$ 的延长线交于 $D$，又 $BC\perp OA$，则
\(\sin x=CB\quad x=\overset{\frown}{AB}\quad \tan x=AD\) 因为
\[S_{\triangle AOB}<S_{扇形AOB}<S_{\triangle AOD}\\ \sin x<x<\tan x\\\]不等号各边除以 $\sin x$，得到
\[1<\frac{x}{\sin x}<\frac{1}{\cos x}\\ \cos x<\frac{\sin x}{x}<1\qquad(1)\\\]当 $x$ 用 $-x$ 代替时，$\cos x$ 与 $\frac{\sin x}{x}$ 都不变，所以上面的不等式对于开区间 $(-\frac{\pi}{2},0)$ 内的一切 $x$ 也是成立的 为对 $(1)$ 式应用准则 I’，下面来证 $\lim_{x\to0}\cos x=1$ 当 $0<|x|<\frac{\pi}{2}$ 时
\[0<|\cos x-1|=1-\cos x=2\sin^2 \frac{x}{2}<2(\frac{x}{2})^2=\frac{x^2}{2}\\ 0<1-\cos x<\frac{x^2}{2}\]当 $x\to0$ 时，$\frac{x^2}{2}\to0$，由准则I’有 $\lim_{x\to0}(1-\cos x)=0$，所以
\[\lim_{x\to0}\cos x=1\]由于 $\lim_{x\to0}\cos x=\lim_{x\to0}=1$，由不等式 $(1)$ 及准则 $I’$，得
\[\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1\]
- 重要极限2：作为准则 II 的应用，我们讨论一个重要极限 $\lim_{x\to0}(1+\frac{1}{x})^x=e$
- 设 $x_n=(1+\frac{1}{n})^n$，我们证明其单调增加且有界
- 证明单调增加
- 使用牛顿二项公式，得到：
同理
\[\begin{aligned} x_{n+1}&=(1+\frac{1}{n+1})^{n+1}\\ &=1+1+\frac{1}{2!}(1-\frac{1}{n+1})+\frac{1}{3!}(1-\frac{1}{n+1})(1-\frac{2}{n+1})+\cdots\\ &+\frac{1}{n+1!}(1-\frac{1}{n+1})(1-\frac{2}{n+1})\cdots(1-\frac{n}{n+1}) \end{aligned}\]由于 $x_n$ 中每一项均小 $x_{n+1}$ 中的对应项，因此 $x_n<x_{n+1}$，即数列 ${x_n}$ 单调增加
- 证明有界
- 使用放缩法，得到：
说明数列 ${x_n}$ 有界，根据准则 2，这个数列必存在极限，我们用字母 $e$ 表示，即
\[\lim_{n \to \infty}(1+\frac{1}{n})^n=e\]其中：$e=2.718281828459045 \cdots$
可以证明若 $x$ 取实数，当 $x \to +\infty$ 或 $x \to -\infty$ 时，函数 $(1+\frac{1}{x})^x$ 的极限都存在且都为 $e$，即
\(\lim_{x \to \pm \infty}(1+\frac{1}{x})^x=e\)
- 准则：柯西极限存在准则（柯西审敛原理）
- 内容：数列收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数 $\varepsilon$，存在正整数 $N$，使得当 $m>N,n>N$ 时，有：
题型与方法
- 利用单调有界准则证明和求解数列的极限
- 方法：
- 验证函数的单调性（一般用数学归纳法，也可用减法或出发比较前后项）
- 验证函数的有界性
- 方法：
- 利用夹逼定理求极限
- 夹逼准则多适用于比较容易适度放缩的函数，且方所后比较容易求得相同的极限，其核心在于找到合适的不等式，夹逼准则索要建立的不等式可以只在 $n$ 无穷大以后或在 $x\to x_0$ 时点 $x_0$ 的邻域内成立
- 利用两个重要极限求极限
- 在求 $\frac{0}{0}$ 型极限时，常用 $\lim_{x\to x_0}\varphi(x)=0$ 时，$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$
- 在求 $1^\infty$ 型极限时，常用 $\lim_{x\to x_0}\varphi(x)=\infty$ 时，$\lim_{x\to0}(1+\frac{1}{x})^x=e$
§1.7 无穷小的比较
- 无穷小比较的意义：对于不同的极限为无穷小的函数，不同的无穷小可以反映不同的函数在极限趋于零的 “快慢” 程度
- 各种无穷小的定义
我们令 $\alpha$ 及 $\beta$ 都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小，且 $\alpha \neq 0$，$\lim \frac{\beta}{\alpha}$ 也是在这个变化过程中的极限
- 高阶无穷小
- 定义：如果 $\lim \frac{\beta}{\alpha}=0$，那么就说 $\beta$ 是比 $\alpha$ 高阶的无穷小，记作 $\beta = o( \alpha )$
- 低阶无穷小
- 定义：如果 $\lim \frac{\beta}{\alpha}=\infty$，那么就说 $\beta$ 是比 $\alpha$ 低阶的无穷小
- 同阶无穷小
- 定义：如果 $\lim \frac{\beta}{\alpha}=c \neq 0$，那么就说 $\beta$ 是比 $\alpha$ 低阶的无穷小
- $k$ 阶无穷小
- 定义：如果 $\lim \frac{\beta}{\alpha^k}=c \neq 0$，那么就说 $\beta$ 是关于 $\alpha$ 的 $k$ 阶的无穷小
- 等价无穷小
- 定义：如果 $\lim \frac{\beta}{\alpha}=1$，那么就说 $\beta$ 与 $\alpha$ 时等价无穷小，记作 $\alpha \sim \beta$
- 常用的等价无穷小：
- 当 $x\to0$ 时，
- $\sin x\sim x$
- $\tan x\sim x$
- $\arcsin x\sim x$
- $\arctan x\sim x$
- $\ln(1+x)\sim x$
- $e^x-1\sim x$
- $a^x-1\sim x\ln a$
- $1-\cos x\sim\frac{1}{2}x^2$
- $(1+bx)^a-1\sim ba~x$
注：等价无穷小是同阶无穷小的特殊情形，即 $c = 1$ 的情形
- 当 $x\to0$ 时，
- 高阶无穷小
- 定理 1：$\alpha$ 与 $\beta$ 是等价无穷小的充分必要条件为：$\beta=\alpha+o(\alpha)$
-
定理 2：设 $\alpha \sim \overset{\sim}{\alpha},\beta \sim \overset{\sim}{\beta}$，且 $\lim \frac{\overset{\sim}{\beta}}{\overset{\sim}{\alpha}}$ 存在，则
\[\lim \frac{\beta}{\alpha} =\lim \frac{\overset{\sim}{\beta}}{\overset{\sim}{\alpha}}\]
题型与方法
- 比较无穷小的阶
- 方法
- 利用等价无穷小替换
- 通过求极限的方法确定无穷小的阶
- 方法
- 利用等价无穷小求极限
- 适用范围：极限中函数相乘或相除形式，不适用于加减形式
- 求 $x\to x_0$ 时，可作变量替换 $u=x-x_0$，然后对 $u$ 得无穷小银子使用等价代换
- 熟悉常用等价无穷小：
- $\sin \varphi(x)\sim \varphi(x)$
- $\tan \varphi(x)\sim \varphi(x)$
- $\arcsin \varphi(x)\sim \varphi(x)$
- $\arctan \varphi(x)\sim \varphi(x)$
- $\ln(1+\varphi(x))\sim \varphi(x)$
- $e^\varphi(x)-1\sim \varphi(x)$
- $a^\varphi(x)-1\sim \varphi(x)\ln a$
- $1-\cos \varphi(x)\sim\frac{1}{2}\varphi(x)^2$
- $(1+b\varphi(x))^a-1\sim ba~\varphi(x)$
§1.8 函数的连续性和间断点
- 连续性
- 含义：连续变化在函数关系上的反映，就是函数的连续性
- 增量
-
定义：设变量 $u$ 从它的一个初值 $u_1$ 变到终值 $u_2$，终值与初值的差 $u_1-u_2$ 就叫做变量 $u$ 的增量，记作 $\Delta u$，即
\[\Delta u=u_2-u_1\]其中：增量 $\Delta u$ 可正可负。为正时 $u$ 增加，为负时 $u$ 减小
-
在函数上的反映
-
现在假定函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某一个邻域内有定义，当自变量 $x$ 在这邻域内从 $x_0$ 变到 $x_0+ \Delta x$ 时，函数值 $f(x)$ 相应地从 $f(x_0)$ 变到 $f(x_0+ \Delta x)$，因此函数值 $f(x)$ 的对应增量为
\(\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)\) 习惯上也称 $\Delta y$ 为函数的增量
-
-
- 连续性定义
-
定义1：设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某一邻域内有定义，如果
\[\lim_{\Delta x \to 0}\Delta y = \lim_{\Delta x \to 0}[f(x_0+\Delta x)-f(x_0)]=0\]那么就称函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处是连续的
-
定义2：设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某一邻域内有定义，如果
\[\lim_{x \to x_0}f(x)=f(x_0)\]那么就称函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 连续.
-
“$\varepsilon-\delta$” 语言表达：
-
$f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续 $\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0,\exist \delta>0$，当 $ x-x_0 <\delta$ 时，有 $ f(x)-f(x_0) <\varepsilon$
-
-
- 左连续
-
定义：如果 $lim_{x \to x_0^-}f(x)=f(x_0^-)$ 存在且等于 $f(x_0)$，即
\[f(x_0^-)=f(x_0)\]那么就说函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 左连续
-
- 右连续
-
定义：如果 $lim_{x \to x_0^+}f(x)=f(x_0^+)$ 存在且等于 $f(x_0)$，即
\[f(x_0^+)=f(x_0)\]那么就说函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 右连续
-
- 在区间上每一点都连续的函数，叫做在该区间上的连续函数，或者说函数在该区间上连续，如果区间包括端点，那么函数在右端点连续是指左连续，在左端点是指右连续
- 图形：连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线
- 间断点
- 定义：设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某去心邻域内有定义。在此前提下，如果函数 $f(x)$ 有下列三种情形之一:
- 在 $x=x_0$ 没有定义
- 虽在 $x=x_0$ 有定义，但 $\lim_{x\to x_0}f(x)$ 不存在
- 虽在 $x=x_0$ 有定义，且 $\lim_{x\to x_0}f(x)$ 存在，但 $\lim_{x\to x_0}f(x) \neq f(x_0)$ 那么函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 为不连续，而点 $x_0$ 称为函数 $f(x)$ 的不连续点或间断点
- 几种常见类型
- 无穷间断点
-
例如正切函数 $y=\tan x$ 在 $x=\frac{\pi}{2}$ 没有定义，所以 $x=\frac{\pi}{2}$ 是函数 $y=\tan x$ 的间断点，又因：
\[\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\tan x=\infty\]我们称 $x=\frac{\pi}{2}$ 为函数 $y=\tan x$ 的无穷间断点
-
-
- 振荡间断点
-
例如函数 $y=\frac{1}{x}$ 在点 $x_0$ 没有定义，当 $x \to 0$ 时，函数值在 -1 与 +1 之间变动无限多次，所以点 $x = 0$ 称为函数 $\sin\frac{1}{x}$ 上的振荡间断点
-
-
- 可去间断点
-
例如函数 $y=\frac{x^2-1}{x-1}$ 在点 $x=1$ 没有定义，所以函数在点 $x=1$ 为不连续，但：
\[\lim_{x \to 1}\frac{x^2-1}{x-1}=\lim_{x \to 1}(x+1)=2\]如果补充定义：令 $x=1$ 时 $y=2$，那么所给函数在 $x=1$ 成为连续，所以 $x=l$ 称为该函数的可去间断点
-
-
- 跳跃间断点
- 函数在间断点处存在左极限和右极限，但不相等，故在此间断点出函数不存在极限，函数值发生了跳跃，因此称这中间断电为跳跃间断点
- 无穷间断点
- 分类
- 第一类间断点：
- 定义：如果 $x_0$ 是函数 $f(x)$ 的间断点，但左极限 $f(x_0^-)$ 及右极限 $f(x_0^+)$ 都存在，那么 $x_0$ 称为函数 $f(x)$ 的第一类间断点
- 在第一类间断点中，左、右极限相等者称为可去间断点，不相等者称为跳跃间断点
- 第二类间断点：
- 定义：不是第一类间断点的任何间断点，称为第二间断点
- 包括：
- 无穷间断点
- 震荡间断点
- 第一类间断点：
- 定义：设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某去心邻域内有定义。在此前提下，如果函数 $f(x)$ 有下列三种情形之一:
题型与方法
- 判断函数连续
- 方法
-
定义法：适当放大表达式 $ f(x)-f(x_0) $，去找满足 $ x-x_0 <\delta$ 的 $\delta$，使 $ f(x)-f(x_0) $ 的放大表达式中尽有 $ x-x_0 $ 的因子 - 利用左右极限存在且相等并等于该点函数值的方法 $f(x_0^+)=f(x_0^-)=f(x_0)$
- 利用所有的初等函数及其符合函数均在定义域内连续来判断
-
- 常考点：
- 连续的三要素：
- 有定义
- 有极限（对于分段函数需要分别考虑左右极限）
- 极限值等于函数值
- 连续函数的几何意义：连续函数的图形是一条没有缝隙的连续曲线
- 在点 $x_0$ 函数连续，则 $x\to x_0$ 时，函数有极限
- 无定义的点必为间断点，分段函数的分段点可能为间断点，判断简短点的主要方法是讨论左右极限
- 连续的三要素：
- 方法
- 判断函数间断点及类型
- 方法：
- 找出无定义的点
- 求该点的左右极限
- 按间断点的定义判定
- 方法：
§1.9 连续函数的运算和初等函数的连续性
- 连续函数运算的连续性
- 定理：设函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在点 $x_0$ 连续，则它们的：
- 和(差) $f\pm g$ 在点 $x_0$ 连续
- 积 $f\cdot g$ 在点 $x_0$ 连续
- 商 $\frac{f}{g}$（当 $g(x_0)\ne 0$ 时）在点 $x_0$ 连续
- 定理：设函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在点 $x_0$ 连续，则它们的：
- 反函数的连续性
-
定理：如果函数 $y=f(x)$ 在区间 $I_x$ 上单调增加（或单调减少）且连续，那么它的反函数 $x=f^{-1}(y)$ 也在对应的区间 $I_y={y y=f(x),x\in I_x$} 上单调增加（或单调减少）且连续
-
- 复合函数的极限
-
定理：设函数 $y=f[g(x)]$ 由函数 $u=g(x)$ 与函数 $y=f(u)$ 复合而成， $\overset{\circ}{U}(x_0)\subset D_{f \circ g}$。若 $\lim_{x\to x_0}g(x)=u_0$，而函数 $y=f(x)$ 在 $u=u_0$ 连续，则
\[\lim_{x\to x_0}f[g(x)]=\lim_{x\to x_0}f(u)=f(u_0)\]
-
- 复合函数的连续性
-
定理：设函数 $y=f[g(x)]$ 由函数 $u=g(x)$ 与函数 $y=f(u)$ 复合而成， $\overset{\circ}{U}(x_0)\subset D_{f \circ g}$。若函数 $u=g(x)$ 在 $x=x_0$ 连续，且 $g(x_0)=u_0$，而函数 $y=f(u)$ 在 $u=u_0$ 连续，则复合函数 $y=f[g(x)]$ 在 $x=x_0$ 也连续
\[\lim_{x\to x_0}f[g(x)]=f(u_0)=f[g(x_0)]\]
-
- 初等函数的连续性
- 结论：一切初等函数在其定义区间内都是连续的
- 定义区间：包含在定义域内的区间
- 结论：一切初等函数在其定义区间内都是连续的
题型与方法
- 利用连续函数性质求极限
- 方法：
- 变量代换，化为能用极限运算法则及连续性求极限的形式
- 充分利用初等函数和复合函数的连续性，以及极限运算法则求极限
- 利用等价无穷小简化求解过程，再用复合函数求出极限值
- 易错点
- 函数在某点连续是函数在该点有极限的特殊情况（即极限值等于函数值）
- 函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的连续性描述了 $f(x_0)$ 在 $x_0$ 某邻域的状态，是对于某邻域而言的
- 方法：
§1.10 闭区间上连续函数的性质
- 有界性与最大值最小值定理：在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取它的最大值和最小值
- 零点定理：设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，且 $f(a)$ 与 $f(b)$ 异号（即 $f(a)\cdot f(b)<0$），那么在开区间 $(a,b)$ 内至少有一点 $\xi$,使
-
介值定理：设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，且在这区间的端点取不同的函数值
\[f(a)=A\qquad f(b)=B\]那么，对于 $A$ 与 $B$ 之间的任意的一个数 $C$，在开区间 $(a,b)$ 内至少有一点 $\xi$ 使得
\[f(\xi)=C\quad (a<\xi <b)\]- 推论：在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 $M$ 与最小值 $m$ 之间的任何值
-
一致连续性
-
\[|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon\]定义：设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上有定义。如果对于任意给定的正数 $\varepsilon$，总存在着正数 $\delta$，使得对于区间 $I$ 上的任意两点 $x_1,x_2$，当 $ x_1-x_2 <\delta$ 时，就有 那么称函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上是一致连续的
- 辨析：函数的连续性只是对于一个点 $x_0$ 连续，而一致连续性则是对于整个区间上所有的点都连续
- 一致连续性定理：如果函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，那么它在该区间上一致连续
-
题型与方法
- 用零点定理确定方程根的存在性
- 方法：
- 确定函数连续性，有时需要构造新的函数
- 在定义域内找到两点，使其函数值的符号相反
- 由零点定理确定解
- 方法：
- 证明根的唯一性
- 方法：
- 首先用零点定理和介值定理确定根的存在性
- 然后利用单调性说明根的唯一性
- 方法：
- 用零点定理证明等式
- 方法：先设函数，再利用零点定理，找到两个取值相反的点确定根的存在性，即可得到所证明的等式
第二章 导数与微分
§2.1 导数概念
- 导数定义
- 设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个邻域内有定义，当自变量 $x$ 在 $x_0$ 处取得增量 $\Delta x$ (点 $x_0+\Delta x$ 仍在该邻域内）时，相应地，因变量取得增量 $\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$；如果 $\Delta y$ 与 $\Delta x$ 之比当 $\Delta x\rightarrow 0$ 时的极限存在，那么称函数 $y=f(x)$在点 $x_0$ 处可导，并称这个极限为函数 $y=f(x$ 在点 $x_0$ 处的导数，记为 $f’(x_0)$，即
也可记作 $y’|{x=x_0},\frac{dy}{dx}|{x=x_0}$ 或 $\frac{df(x)}{dx}|_{x=x_0}$
- 函数的变化率
- 函数的变化率实际就是不同意义的变量变化的快慢
- 单侧导数
- 左导数和右导数统称为单侧导数
- 函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导的充分必要条件是左导数 $f’-(x_0)$ 和右导数 $f’+(x_0)$ 都存在且相等 左导数：
右导数：
\[f'_+(x_0)=\lim_{h\to 0^+}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\]- 如果函数 $f(x)$ 在开区间 $(a，b)$ 内可导，且 $f’+(a)$ 及 $f’-(b)$ 都存在，那么就说 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上可导
- 可导性和连续性的关系
- 函数 $y=f(x)$ 在点 $x$ 处可导，则函数在该点必连续，而一个函数在某点连续却不一定在该点可导
§2.2 函数求导法则
- 函数的和、差、积、商的求导法则
- 定理：如果函数 $u=u(x)$及 $v=v(x)$ 都在点 $x$ 具有导数，那么它们的和、 差、积、商（除分母为零的点外）都在点 $x$ 具有导数，且
- \[[u(x)\pm v(x)]'=u'(x)\pm v'(x)\]
- \[[u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)\]
- \[[\frac{u(x)}{v(x)}]'=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)}\quad(v(x)\neq 0)\]
- 定理：如果函数 $u=u(x)$及 $v=v(x)$ 都在点 $x$ 具有导数，那么它们的和、 差、积、商（除分母为零的点外）都在点 $x$ 具有导数，且
- 反函数的求导法则
-
定理：如果函数 $x=f(y)$ 在区间 $I_y$ 内单调、可导且 $f’(y)=0$ ,那么它的反函数 $y=f^{-1}(x)$ 在区间 $I_x={x\mid x=f(y),y\in I_y}$ 内也可导，且
\[[f^{-1}(x)]'=\frac{1}{f'(y)}\quad或\quad\frac{\rm{d}y}{\rm{d}x}=\frac{1}{\frac{\rm{d}x}{\rm{d}y}}\]
-
- 复合函数的求导法则
-
定理：如果 $u=g(x)$ 在点 $x$ 可导，而 $y =f(u)$ 在点 $u=g(x)$ 可导，那么复合函数 $y=f[g(x)]$ 在点 $x$ 可导，且其导数为
\[\frac{\rm{d}y}{\rm{d}x}=f'(u)\cdot g'(x)\quad或\quad\frac{\rm{d}y}{\rm{d}x}=\frac{\rm{d}y}{\rm{d}u}\cdot\frac{\rm{d}u}{\rm{d}x}\]
-
- 基本求导法则与导数公式
- 常用和几本书等函数的导数公式 函数名称 | 求导公式 ———|——— 常数函数 | $(C)’=0$ 幂函数 | $(x^\mu)’=\mu x^{\mu-1}$ 正弦函数 | $(\sin x)’=\cos x$ 余弦函数 | $(\cos x)’=-\sin x$ 正切函数 | $(\tan x)’=\sec^2 x$ 余切函数 | $(\cot x)’=-\csc^2 x$ 正割函数 | $(\sec x)’=\sec x\tan x$ 余割函数 | $(\csc x)’=-\csc x\cot x$ 指数函数 | $(a^x)’=a^x\ln a~(a>0,a\neq 1)$ e 底指数函数 | $(e^x)’=e^x$ 对数函数 | $(\log_a x)’=\frac{1}{x\ln a}~(a>0,a\neq 1)$ e 底对数函数 | $(\ln x)’=\frac{1}{x}$ 反正弦函数 | $(\arcsin x)’=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ 反余弦函数 | $(\arccos x)’=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ 反正切函数 | $(\arctan x)’=\frac{1}{1+x^2}$ 反余切函数 | $(\arcctg x)’=-\frac{1}{1+x^2}$
- 函数的和、差、积、商的求导法则 函数运算 | 求导法则 —–|——– 函数和差运算 | $(u\pm v)’=u’\pm v’$ 常数积运算 | $(Cu)’=Cu’$ 函数积运算 | $(uv)’=u’v+uv’$ 函数商运算 | $(\frac{u}{v})’=\frac{u’v-uv’}{v^2}\quad(v\neq 0)$
- 反函数的求导法则
- 设 $x=f(y)$ 在区间 $I_y$，内单调、可导且 $f’(y)\neq 0$，则它的反函数 $y=f^{-1}(x)$ 在 $I_x=f(I_y)$ 内也可导，且 \([f^{-1}(x)]'=\frac{1}{f'(y)}\quad或\quad\frac{\rm{d}y}{\rm{d}x}=\frac{1}{\frac{\rm{d}x}{\rm{d}y}}\)
- 复合函数的求导法则
- 设 $y=f(u)$，而 $u=g(x)$ 且 $f(u)$ 及 $g(x)$ 都可导，则复合函数 $y=f[g(x)]$ 的导数为 \(\frac{\rm{d}y}{\rm{d}x}=\frac{\rm{d}y}{\rm{d}u}\cdot\frac{\rm{d}u}{\rm{d}x}\quad或\quad y'(x)=f'(u)\cdot g'(x)\)
§2.3 高阶导数
- 高阶导数
- 定义：二阶及二阶以上的导数称为高阶导数，函数 $y=f(x)$ 具有 $n$ 阶导数，也常说成函数 $y=f(x)$ 为 $n$ 阶可导
- 莱布尼兹公式
推导过程与介绍见：莱布尼兹公式
§2.4 函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率
- 显函数
- 概念：等号左端是因变量的符号，而右端是含有自变量的式子，当自变量取定义域内任一值时，由这式子能确定对应的函数值.用这种方式表达的函数叫做显函数
- 隐函数
- 概念：例如 $x+y^3-1=0$ 这个式子确定了变量 $y$ 与 $x$ 的函数关系，但这种关系的表示没有将因变量单独地提出来，这样的函数叫隐函数
- 隐函数的显化：顾名思义就是将一个隐函数经过一系列地运算转换成一个显函数
- 求导方法：
- 同时对等号两边的式子求导数，然后将 $\frac{\rm{d}y}{\rm{d}x}$ 单独提出来，得出隐函数的导数
- 对于幂指函数 $y=u^v(u>0)$，如果 $u=u(x)$、$v=v(x)$ 都可导，则我们可以在等式两边取对数，得到 $\ln y=v\ln u$，然后再对等式两边求导
- 由参数方程所确定的函数
-
定义：一般地，若参数方程
\[\begin{cases} x=\varphi(t)\\ y=\psi(t)\\ \end{cases}\qquad(1)\]确定 $y$ 与 $x$ 间的函数关系，则称此函数关系所表达的函数为由参数方程 $(1)$ 所确定的函数
-
求导：在 $(1)$ 式中，如果函数 $x=\varphi(t)$ 具有单调连续反函数 $t=\varphi^{-1}(x)$，且此反函数能与函数 $y=\psi(t)$ 构成复合函数，那么由参数方程 $(1)$ 所确定的函数可以看成是由函数 $y=\psi(t)$、$t=\varphi^{-1}(x)$ 复合而成的函数 $y=\psi[\varphi^{-1}(x)]$。现在，要计算这个复合函数的导数，为此再假定函数 $x=\varphi(t)$、 $y=\psi(t)$ 都可导，而且 $\varphi’(t)\neq0$。于是根据复合函数的求导法则与反函数的求导法则，就有
\[\frac{\rm{d}y}{\rm{d}x}=\frac{\rm{d}y}{\rm{d}t}\cdot\frac{\rm{d}t}{\rm{d}x}=\frac{\rm{d}y}{\rm{d}t}\frac{1}{\frac{\rm{d}x}{\rm{d}t}}=\frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}\]如果 $x=\varphi(t)$、$y=\psi(t)$ 还是二阶可导的，那么从 $(1)$ 式又可得到函数的二阶导数公式
\[\frac{\rm{d}^2y}{\rm{d}x^2}=\frac{\rm{d}}{\rm{d}x}(\frac{\rm{d}y}{\rm{d}x})=\frac{\rm{d}}{\rm{d}t}(\frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)})\cdot\frac{\rm{d}t}{\rm{d}x}=\frac{\psi''(t)\varphi'(t)-\psi'(t)\varphi''(t)}{\varphi'^3(t)}\]
-
- 相关变化率
- 定义：设 $x=x(t)$ 及$ y= y(t)$ 都是可导函数，而变量 $x$ 与 $y$ 间存在某种关系，从而变化率 $\frac{\rm{d}x}{\rm{d}t}$ 与 $\frac{\rm{d}y}{\rm{d}t}$ 间也存在一定关系，这两个相互依赖的变化率称为相关变化率
- 概念：关变化率问题就是研究这两个变化率之间的关系，以便从其中一个变化率求出另一个变化率
§2.5 函数的微分
- 微分的定义
-
函数 $y=f(x)$ 在某区间内有定义，$x_0$ 及 $x_0+\Delta x$ 在这区间内，如果函数的增量
\[\Delta y=f(x_0+\Delta x)=f(x_0)\]可表示为
\[\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)\]其中 $A$ 是不依赖于 $\Delta x$ 的常数，那么称函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 是可微的，而 $A\Delta x$ 叫做函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 相应于自变量增量 $\Delta x$ 的微分，记作 ${\rm d}y$
-
通常把自变量，的增量 $\Delta x$ 称为自变量的微分，记作 ${\rm d}x$，即 ${\rm d}x=\Delta x$。于是函数 $y=f(x)$ 的微分又可记作
\[{\rm d}y=f'(x){\rm d}x\]从而有
\(frac{ {\rm d}y}{ {\rm d}x}=f'(x)\)
这就是说，函数的微分 ${\rm d}y$ 与自变量的微分 ${\rm d}x$ 之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做“微商”
-
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微分的几何意义
-
在直角坐标系中，函数 $y=f(x)$ 的图形是一条曲线。对于某一固定的 $x_0$值，曲线上有一个确定点 $M(x_0,y_0)$，当自变量 $x$ 有微小增量 $\Delta x$ 时，就得到曲线上另一点 $N(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)$，由图可知：
\[MQ=\Delta x\\QN=\Delta y\]过点 $M$ 作曲线的切线 $MT$，它的倾角为 $\alpha$，则
\[QP=MQ\cdot\tan\alpha=\Delta x\cdot f'(x_0)\]即
\[{\rm d}y=QP\]由此可见，对于可微函数 $y=f(x)$ 而言，当 $\Delta y$ 是曲线 $y=f(x)$ 的点的纵坐标的增量时，${\rm d}y$ 就是曲线的切线上点的纵坐标的相应增量。当 $ \Delta x $ 很小时，$ \Delta y-{\rm d}y $ 比 $ {\rm d}x $ 小得多，因此在点 $M$ 的邻近，我们可以用切线段来近似代替曲线段.在局部范围内用线性函数近似代替非线性函数，在几何上就是局部用切线段近似代替曲线段，这在数学上称为非线性函数的局部线性化，这是微分学的基本思想方法之一
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- 基本初等函数的微分公式与微分运算法则
- 基本初等函数的微分法则 函数名称 | 求导公式 | 微分公式 ———|——–|——— 幂函数 | $(x^\mu)’=\mu x^{\mu-1}$ | ${\rm d}(x^\mu)=\mu x^{\mu-1}{\rm d}x$ 正弦函数 | $(\sin x)’=\cos x$ | ${\rm d}(\sin x)=\cos x{\rm d}x$ 余弦函数 | $(\cos x)’=-\sin x$ | ${\rm d}(\cos x)=-\sin x{\rm d}x$ 正切函数 | $(\tan x)’=\sec^2 x$ | ${\rm d}(\tan x)=\sec^2 x{\rm d}x$ 余切函数 | $(\cot x)’=-\csc^2 x$ | ${\rm d}(\cot x)=-\csc^2 x{\rm d}x$ 正割函数 | $(\sec x)’=\sec x\tan x$ | ${\rm d}(\sec x)=\sec x\tan x{\rm d}x$ 余割函数 | $(\csc x)’=-\csc x\cot x$ | ${\rm d}(\csc x)=-\csc x\cot x{\rm d}x$ 指数函数 | $(a^x)’=a^x\ln a~(a>0,a\neq 1)$ | ${\rm d}(a^x)=a^x\ln a{\rm d}x~(a>0,a\neq 1)$ e 底指数函数 | $(e^x)’=e^x$ | ${\rm d}(e^x)=e^x{\rm d}x$ 对数函数 | $(\log_a x)’=\frac{1}{x\ln a}~(a>0,a\neq 1)$ | ${\rm d}(\log_a x)=\frac{1}{x\ln a}{\rm d}x~(a>0,a\neq 1)$ e 底对数函数 | $(\ln x)’=\frac{1}{x}$ | ${\rm d}(\ln x)=\frac{1}{x}{\rm d}x$ 反正弦函数 | $(\arcsin x)’=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ | ${\rm d}(\arcsin x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}{\rm d}x$ 反余弦函数 | $(\arccos x)’=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ | ${\rm d}(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}{\rm d}x$ 反正切函数 | $(\arctan x)’=\frac{1}{1+x^2}$ | ${\rm d}(\arctan x)=\frac{1}{1+x^2}{\rm d}x$ 反余切函数 | $(\arcctg x)’=-\frac{1}{1+x^2}$ | ${\rm d}(\arcctg x)=-\frac{1}{1+x^2}{\rm d}x$
- 函数运算的微分法则 函数运算 | 求导法则 | 微分法则 ———|———-|——– 函数和差运算 | $(u\pm v)’=u’\pm v’$ | ${\rm d}(u\pm v)={\rm d}u\pm {\rm d}v$ 常数积运算 | $(Cu)’=Cu’$ | ${\rm d}(Cu)=C{\rm d}u$ 函数积运算 | $(uv)’=u’v+uv’$ | ${\rm d}(uv)={\rm d}uv+u{\rm d}v$ 函数商运算 | $(\frac{u}{v})’=\frac{u’v-uv’}{v^2}\quad(v\neq 0)$ | ${\rm d}(\frac{u}{v})=frac{ {\rm d}uv-u{\rm d}v}{v^2}\quad(v\neq 0)$
- 复合函数的微分法则
-
设 $y=f(u)$ 及 $u=g(x)$ 都可导，则复合函数 $y=f[g(x)]$ 的微分为
\[{\rm d}y=y'_x{\rm d}x=f'(u)g'(x){rm d}x\]由于 $g’(x){\rm d}x={\rm d}u$，所以，复合函数 $y=f[g(x)]$ 的微分公式也可以写成
\[{\rm d}y=f'(u){\rm d}u\quad或\quad{\rm d}y=y'_u{\rm d}u\]由此可见，无论 $u$ 是自变量还是中间变量，微分形式 ${\rm d}y=f’(u){\rm d}u$ 保持不变。这一性质称为微分形式不变性。这性质表示，当变换自变量时，微分形式 ${\rm d}y=f’(u){\rm d}u$ 并不改变
在求复合函数的导数时，可以不写出中间变量.在求复合函数的微分时，类似地也可以不写出中间变量
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- 微分在近似计算中的应用
- 函数的近似计算：在工程问题中，经常会遇到一些复杂的计算公式。如果直接用这些公式进行计算，那是很费力的.利用微分往往可以把一些复杂的计算公式用简单的近似公式来代替
-
\[\Delta y\approx{\rm d}y=f'(x_0)\Delta x\qquad(1)\]如果 $y=f(x)$ 在点 $x_0$处的导数 $f’(x_0)\neq 0$，且 $ \Delta x $ 很小时，我们有 这个式子也可以写为
\[\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)\approx f'(x_0)\Delta x\qquad(2)\]或
\[f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\Delta x\qquad(3)\]若令 $x-x_0+\Delta x$，即 $\Delta x=x-x_0$，则 $(3)$ 式可改写为
\[f(x)\approx f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)\qquad(4)\]如果 $f(x_0)$ 与 $f’(x_0)$ 都容易计算，那么可利用 $(2)$ 式来近似计算 $\Delta y$，利用 $(3)$ 式来近似计算 $f(x_0+\Delta x)$,或利用 $(4)$ 式来近似计算 $f(x)$
- 常用近似公式
- $(1+x)\degree\approx1+\alpha x(\alpha\in R)$
- $\sin x\approx x$（$x$ 用弧度作单位来表达）
- $\tan x\approx x$（$x$ 用弧度作单位来表达）
- $e^x\approx1+x$
- $\ln(1+x)\approx x$
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- 误差估计
- 概念：在生产实践中，经常要测量各种数据。但是有的数据不易直接测量，这时我们就通过测量其他有关数据后，根据某种公式算出所要的数据
- 间接测量误差：由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差，而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误差，我们把它叫做间接测量误差
-
绝对误差：如果某个量的精确值为 $A$，它的近似值为 $a$，那么 $ A-a $ 叫做 $a$ 的绝对误差 -
相对误差：绝对误差与 $ a $ 的比值 $\frac{ A-a }{ a }$ 叫做 $a$ 的相对误差 -
绝对与相对误差限：在实际工作中，某个量的精确值往往是无法知道的，于是绝对误差和相对误差也就无法求得。但是根据测量仪器的精度等因素，有时能够确定误差在某一个范围内。如果某个量的精确值是 $A$，测得它的近似值是 $a$，又知道它的误差不超过 $\delta_A$，即
\[|A-a|\le\delta_A\]那么 $\delta_A$ 为叫做测量 $A$ 的绝对误差限，而 $\frac{\delta_A}{ a }$ 叫做测量 $A$ 的相对误差限，通常简称为绝对误差与相对误差
- 函数的近似计算：在工程问题中，经常会遇到一些复杂的计算公式。如果直接用这些公式进行计算，那是很费力的.利用微分往往可以把一些复杂的计算公式用简单的近似公式来代替
第三章 微分中值定理
§3.1 微分中值定理
§3.2 洛必达法则
§3.3 泰勒公式
§3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
§3.5 函数的极值与最大最小值
§3.6 函数图形的描绘
§3.7 曲率
§3.8 方程的近似解
第四章 不定积分
§4.1 不定积分的概念与性质
- 原函数
- 定义：如果在区间 $I$ 上，可导函数 $F(x)$ 的导函数为 $f(x)$，即对任意 $x\in I$，都有
那么函数 $F(x)$ 就称为 $f(x)$ （或 $f(x){\rm d}x$）在区间 $I$ 上的一个原函数
- 原函数存在定理
- 如果函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上连续，那么在区间 $I$ 上存在可导函数 $F(x)$，使对任意 $x\in I$ 都有
- 简单来说：连续函数一定有原函数
- 注意
- 如果 $f(x)$ 在区间 $I$ 上有原函数，即有一个函数 $F(x)$，使对任意 $x\in I$，都有 $F’(x)=f(x)$，那么，对任意常数 $C$，显然也有
即对任何常数 $C$，函数 $F(x)+C$ 也是 $f(x)$ 的原函数，也就是说，如果 $f(x)$ 有一个原函数，那么就有无限多个原函数
- 设 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，$\varPhi(x)$ 是 $f(x)$ 的另一个原函数，则对任意一 $x\in I$ 有
于是
\[[\varPhi(x)-F(x)]'=\varPhi'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0\]由于在一个区间上导数恒为 0 的函数必为常熟，因此表达式 $F(x)+C$ 可以表示 $f(x)$ 的任意一个原函数
- 不定积分
- 定义：在区间 $I$ 上，函数 $f(x)$ 的带有任意常数项的原函数称为 $f(x)$ 的不定积分，记作
其中记号 $\int$ 称为积分号，$f(x)$ 称为被积函数，$f(x){\rm d}x$ 称为被积表达式，$x$ 称为积分变量
- 定理：若 $F(x)$ 是 $f(x)$ 在区间 $I$ 上的一个原函数，那么 $F(x)+C$ 就是 $f(x)$ 的不定积分，即
因而 $\int f(x){\rm d}x$ 可以表示 $f(x)$ 的任意一个原函数
- 基本积分表
№|基本积分公式
-
1 $\int k{\rm d}x=$$kx+C$ 2 $\int x^\mu{\rm d}x=\frac{x^{\mu+1}}{\mu+1}+C$ 3 $\int\frac{1}{x}{\rm d}x=\ln{x}+C$ 4 $\int\frac{1}{1+x^2}{\rm d}x=\arctan{x}+C$ 5 $\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=\sin{x}+C$ 6 $\int\cos{x}{\rm d}x=\sin{x}+C$ 7 $\int\sin{x}{\rm d}x=-\cos{x}+C$ 8 $\int\frac{1}{\cos^2{x}}=\int\sec^2{x}{\rm d}x=\tan{x}+C$ 9 $\int\frac{1}{\sin^2{x}}=\int\csc^2{x}{\rm d}x=-\cot{x}+C$ 10 $\int\sec{x}\tan{x}{\rm d}x=\sec{x}+C$ 11 $\int\csc{x}\cot{x}{\rm d}x=-\csc{x}+C$ 12 $\int e^x{\rm d}x=e^x+C$ 13 $\int a^x{\rm d}x=\frac{a^x}{\ln{x}}+C$
-
- 不定积分的性质
-
性质1：设函数 $f(x)$ 及 $g(x)$ 的原函数存在，则
\[\int[f(x)+g(x)]{\rm d}x=\int f(x){\rm d}x+\int g(x){\rm d}x\qquad(1.3)\]- 证明：将 $(1.3)$ 式右端求导，得
这表示，$(1.3)$ 式右端是 $f(x)+g(x)$ 的原函数，又 $(1.3)$ 式右端有两个积分记号，形式上含两个任意常数，由于任意常数之和仍未任意常数，故实际上含一个任意常熟，因此 $(1.3)$ 式右端是 $f(x)+g(x)$ 的不定积分
- 适用范围：对于有限个函数都成立
-
性质2：设函数 $f(x)$ 的原函数存在，$k$ 为非零常数，则
\[\int kf(x){\rm d}x=k\int f(x){\rm d}x\]
-
§4.2 换元积分法
- 第一类换元法
-
设 $f(u)$ 具有原函数 $F(u)$，即
\[F'(u)=f(u), \int f(u){\rm d}u=F(u)+C\]如果 $u$ 是中间变量：$u=\varphi(x)$，且设 $\varphi(x)$ 可微，那么根据复合函数微分法，有
\[{\rm d}F[\varphi(x)]=f[\varphi(x)]\varphi'(x){\rm d}x\]从而根据不定积分的定义得到
\[\int f[\varphi(x)]\varphi'(x){\rm d}x=F[\varphi(x)]+C=\left[\int f(u){\rm d}u\right]_{u=\varphi(x)}\] -
定理：设 $f(u)$ 具有原函数，$u=\varphi(x)$ 可导，则有换元公式
\[\int f[\varphi(x)]\varphi'(x){\rm d}x=\left[\int f(u){\rm d}u\right]_{u=\varphi(x)}\]
-
- 第二类换元法
§4.3 分部积分法
§4.4 有理函数的积分
- 有理函数（有理分式）
- 定义：两个多项式的商 $\frac{P(x)}{Q(x)}$ 称为有理函数，又称有理分式（我们总嘉定分子多项式 $P(x)$ 与分母多项式 $Q(x)$ 之间没有公因式）
- 真分式：当分子多项式 $P(x)$ 的次数小于分母多项式 $Q(x)$ 时，这种有理函数为真分式
-
对于真分式 $\frac{P(x)}{Q(x)}$，如果分母可以分解为两个多项式的乘积
\[Q(x)=Q_1(x)Q_2(x)\]且 $Q_1(x)$ 与 $Q_2(x)$ 没有公因式，那么它可以拆分成两个真分式的和
\[\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{P_1(x)}{Q_1(x)}+\frac{P_2(x)}{Q_2(X)}\]上述步骤成为把真分式化成部分分式之和，如果 $Q_1(x)$ 或 $Q(x)$ 还能进一步分解，则将其继续拆分，直到最后有理函数的分解式中只出现多项式、$\frac{P_1(x)}{(x-a)^k}$、$\frac{P_2(x)}{(x^2+px+q)^l}$ 等三类函数（其中 $p^2-4q<0,P_1(x)$ 为小于 $k$ 次的多项式，$P_2(x)$ 为小于 $2l$ 次的多项式），便容易求出积分
-
- 假分式：当分子多项式 $P(x)$ 的次数大于分母多项式 $Q(x)$ 时，这种有理函数为假分式
- 对于假分式，利用多项式的除法，总可以将其化成一个多项式与一个真分式的和