MainPage/Mathematics/Graphic Work

Вариант 3

Задание 1. Числовые ряды

Исследуйте данный числовой ряд на сходимость согласно плану:
根据计划检查此数列是否收敛：

\[\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n(n^2+1)}{(2n^2+3)}\]

1. Проведите аналитическое исследование сходимости ряда. Укажите тип сходимости – абсолютная или условная. Сформулируйте использованные необходимое и достаточное условия сходимости.
   对系列的收敛性进行分析研究。 指定收敛类型 - 绝对或有条件的。 制定用于收敛的充分必要条件。

   \[\begin{split} Пусть\ f(n)&=\frac{(n^2+1)}{(2n^2+3)}\\ Потому\ что\ f'(n)&=\frac{2n}{(2n^2+3)^2}<0 (При\ n<0)\\ Поэтому\ f(n)&\ возрастает\ в\ [1,\infty)\\ и |\lim_{n\to \infty}f(n)|&=|\lim_{n\to\infty}\frac{n^2+1}{2n^2+3}|=\frac{1}{2}\ne0\\ так\ как\ &ряд\ расходится \end{split}\]

2. В графическом редакторе постройте графики общего члена ряда и ряда из модулей и частичных сумм этих рядов. Исследуйте их поведение при возрастании n.
   在图形编辑器中绘制系列的常用项以及来自这些系列的模块和部分总和的系列。 随着 n 的增加探索它们的行为。

   График элементы $a_n$

   

   График суммы $S_n$

   

   View more in Desmos

3. Сравните результаты аналитического и графического исследований. Сделайте вывод.
   比较分析和图形研究的结果。 做一个结论。

   Данный числовой ряд расходимый. С увеличением n абсолютная величина общего члена ряда постепенно увеличивается и приближается к 0,5, а сумма первых 2n членов постепенно увеличивается и приближается к 0,0695, а сумма первых 2n+1 членов постепенно уменьшается и приближается к -0,43.

   Пример графического исследования, выполненного в редакторе Desmos:

Задание 2. Область сходимости

Проведите исследование области сходимости данного ряда согласно плану:
按照规划对该级数的收敛域进行研究：

\[\sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}{n\cdot10^{n-1}}\]

1. Найдите область сходимости ряда аналитически.
   解析地求级数的收敛区域。

   \(\begin{split} \sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}{n\cdot10^{n-1}}&=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n\cdot10^{n-1}}\cdot x^n\\ a_n&=\frac{1}{n\cdot10^{n-1}}\\ a_{n+1}&=\frac{1}{(n+1)\cdot10^{n}}\\ R=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{a_{n+1}}&=10+\frac{10}{n}=10\\ \end{split}\) т.е ряд сходится при $|x|<10$ а при $x=10$, ряд $\sum_{n=1}^\infty\frac{10}{n}$ расходится при $x=-10$, \(\begin{split} \sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n10}{n}\\ Пусть\ f(n)&=\frac{10}{n}\\ Потому\ что\ f'(x)&=-\frac{10}{n^2}<0\ при\ n \in[1,\infty)\\ Поэтому\ f(n)&\ уменшается\ в\ [1,\infty)\\ и\ \lim_{n\to\infty}f(n)&=0 так\ как\ ряд\ схрдится \end{split}\)

   Область сходимости: $[-10,10)$

2. В графическом редакторе постройте график частичных сумм.
   在图形编辑器中绘制部分和图。

3. По графику исследуйте поведение (непрерывность) сумм ряда в области сходимости и вне её.
   使用该图，研究收敛区域内外的级数和的行为（连续性）。

   View more in Desmos

4. Сделайте вывод.
   做一个结论。

   при $x<-10$, знак сумм ряда всегда меняется по мере увеличение $n$ а при $x>10$, значение сумм ряда всегда увеличается по мере увеличение $n$ и нет ограничения

   Пример графического исследования, выполненного в редакторе Desmos:

Задание 5. Дифференциальные уравнения

1. Разобраться с примерами и с подходами, которые рассмотрены в примерах 理解例子和例子中讨论的方法
2. В каждом варианте составить дифференциальное уравнение и решить. 在每种情况下，写出一个微分方程并求解

Требования к выполнению :Требования.jpg