MainPage/Mathematics/HomeWork
Задание 1
Необходимо вычислить произведения матриц с помощью кода, которого вы напишите. Более того , попробуйте написать код для вычисления определителя с использованием одного из способов, которых мы рассмотрели ( будем рассматривать) на занятии.
- Matrix Multiply
#include <iostream>
using namespace std;
class Matrix {
public:
int c, r;
double matrix [100][100];
void inputSize() {
printf("Program: Please input the size of matrix:(in form\"r c\")\n");
scanf("%d %d",&r,&c);
}
void inputMatrix() {
inputSize();
printf("Program: You input r=%d, c=%d, now input the matrix:\n",r,c);
for (int i = 0; i < r; i++) {
for (int j = 0; j < c; j++) {
scanf("%lf", &matrix[i][j]);
}
}
}
void printMatrix() {
for (int i = 0; i < r; ++i) {
for (int j = 0; j < c; ++j) {
printf("%8.2lf ", matrix[i][j]);
}
printf("\n");
}
}
Matrix multiply(Matrix matrix) {
Matrix result;
result.r = this->r;
result.c = matrix.c;
if (this->c == matrix.r) {
for (int i = 0; i < result.r; i++) {
for (int j = 0; j < result.c; j++) {
result.matrix[i][j] = 0;
for (int k = 0; k < matrix.r; k++) {
result.matrix[i][j] += this->matrix[i][k] * matrix.matrix[k][j];
}
}
}
} else {
printf("Error\n");
}
return result;
}
};
void run() {
Matrix matrix1;
Matrix matrix2;
matrix1.inputMatrix();
matrix2.inputMatrix();
Matrix matrix3;
matrix3 = matrix1.multiply(matrix2);
printf("Program: The product of matrix1 and matrix2 is:\n");
matrix3.printMatrix();
printf("\n");
system("pause");
}
int main() {
printf("Matrix Multiply version 1.0\n");
printf("By: Zhou HongXiang P32131\n\n");
while (true) {
run();
}
return 0;
}
- Determinant Calculate
#include <iostream>
using namespace std;
class Determinant {
public:
int n;
double det[100][100];
double value;
int sign = 1;
void inputSize() {
printf("Program: Please input the size of determinant:\n");
scanf("%d",&n);
}
void inputDet() {
inputSize();
printf("Program: You input n=%d, now input the determinant:\n",n);
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < n; j++) {
scanf("%lf", &det[i][j]);
}
}
}
void printDet() {
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < n; j++) {
printf("%6.2lf ", det[i][j]);
}
printf("\n");
}
}
void swabCol(int r, int c) {
for (int i = 0; i < n; i++) {
det[i][r] += det[i][c];
det[i][c] = det[i][r] - det[i][c];
det[i][r] -= det[i][c];
}
sign = -sign;
}
void calValue() {
for (int i = 0; i < n-1; i++) {
for (int j = i + 1; j < n; j++) {
if (det[i][j] != 0) {
if (det[i][i] == 0) {
swabCol(i,j);
}
double div = det[i][j]/det[i][i];
for (int k = i; k < n; k++) {
det[k][j] = det[k][j] - div * det[k][i];
}
}
}
}
value = sign * det[0][0];
for (int i = 1; i < n; i++) {
value *= det[i][i];
}
}
};
void run() {
Determinant det;
det.inputDet();
printf("Program: The original determinant:\n");
det.printDet();
det.calValue();
printf("Program: The triangle determinant:\n");
det.printDet();
printf("Program: The value of determinant is: %.2lf\n", det.value);
printf("\n");
system("pause");
}
int main() {
printf("Determinant Calculator version 1.0\n");
printf("By: Zhou HongXiang P32131\n\n");
while (true) {
run();
}
return 0;
}
Задание 2
3.91
Найти значеник многочлена $f(A)$ от матртиц $A$:
\[f(x)=x^2-3x+1, A= \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 0 & 3\\ \end{pmatrix}\]Решение
\[x^2=\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 0 & 3\\ \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 0 & 3\\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 4 & 5\\ 0 & 9\\ \end{pmatrix}\] \[-3x=\begin{pmatrix} -6 & -3\\ 0 & -9\\ \end{pmatrix}\] \[1=E=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\\ \end{pmatrix}\] \[f(A)=x^2-3x+1= \begin{pmatrix} -1 & 2\\ 0 & 1\\ \end{pmatrix}\]3.14
Вычислить определители 3-го порядка:
\[\begin{vmatrix} a+x & x & x\\ x & b+x & x\\ x & x & c+x\\ \end{vmatrix}\]Решение
\[\det =（a+x)(b+x)(c+x)+x^3+x^3-(b+x)x^2-(a+x)x^2-(c+x)x^2\]3.109
Методом присоединенной матрицы найти абратные для следующих матриц:
\[A=\begin{pmatrix} 2 & 5 & 7\\ 6 & 3 & 4\\ 5 & -2 & -3\\ \end{pmatrix}\]Решение
\[\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}=-1\] \[A_{11}=\begin{pmatrix} 3 & 4\\ -2 & -3\\ \end{pmatrix}=-1\quad A_{12}\begin{pmatrix} 6 & 4\\ 5 & -3\\ \end{pmatrix}=-38\quad A_{13}=\begin{pmatrix} 6 & 3\\ 5 & -2\\ \end{pmatrix}=-27\] \[A_{21}=\begin{pmatrix} 5 & 7\\ -2 & -3\\ \end{pmatrix}=-1\quad A_{22}\begin{pmatrix} 2 & 7\\ 5 & -3\\ \end{pmatrix}=-41\quad A_{23}=\begin{pmatrix} 2 & 5\\ 5 & -2 \end{pmatrix}=-29\] \[A_{31}=\begin{pmatrix} 5 & 7\\ 3 & 4\\ \end{pmatrix}=-1\quad A_{32}\begin{pmatrix} 2 & 7\\ 6 & 4\\ \end{pmatrix}=-34\quad A_{33}=\begin{pmatrix} 2 & 5\\ 6 & 3\\ \end{pmatrix}=-24\] \[A^*=\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & A_{13}\\ A_{21} & A_{22} & A_{23}\\ A_{31} & A_{32} & A_{33}\\ \end{pmatrix}\\ =\begin{pmatrix} -1 & -1 & -1\\ -38 & -41 & -34\\ -27 & -29 & -24\\ \end{pmatrix}\] \[A^{-1}=\frac{1}{\lvert A\rvert}A^*= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 38 & 41 & 34\\ 27 & 29 & 24\\ \end{pmatrix}\]3.116
Методом элементных преобразований найти абратные для следующих матриц:
\[A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & -1 & -1\\ 1 & -1 & 1 & -1\\ 1 & -1 & -1 & 1\\ \end{pmatrix}\]Решение
\[\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & \vert & 1 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 1 & -1 & -1 & \vert & 0 & 1 & 0 & 0\\ 1 & -1 & 1 & -1 & \vert & 0 & 0 & 1 & 0\\ 1 & -1 & -1 & 1 & \vert & 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix}=\\ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & \vert & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\ 0 & 1 & 0 & 0 & \vert & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & -\frac{1}{4} & -\frac{1}{4}\\ 0 & 0 & 1 & 0 & \vert & \frac{1}{4} & -\frac{1}{4} & \frac{1}{4} & -\frac{1}{4}\\ 0 & 0 & 0 & 1 & \vert & \frac{1}{4} & -\frac{1}{4} & -\frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\ \end{pmatrix}\] \[A^T=\begin{pmatrix} \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\ \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & -\frac{1}{4} & -\frac{1}{4}\\ \frac{1}{4} & -\frac{1}{4} & \frac{1}{4} & -\frac{1}{4}\\ \frac{1}{4} & -\frac{1}{4} & -\frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\ \end{pmatrix}\]3.123
Решить матричные уравнения:
\[\begin{pmatrix} 3 & -1\\ 5 & -2\\ \end{pmatrix}\cdot X\cdot \begin{pmatrix} 5 & 6\\ 7 & 8\\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 14 & 16\\ 9 & 10\\ \end{pmatrix}\]Решение
\[X=\begin{pmatrix} 14 & 16\\ 9 & 10\\ \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 3 & -1\\ 5 & -2\\ \end{pmatrix}^{-1}\cdot \begin{pmatrix} 5 & 6\\ 7 & 8\\ \end{pmatrix}^{-1}\\ =\begin{pmatrix} 14 & 16\\ 9 & 10\\ \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 2 & -1\\ 5 & -3\\ \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} -4 & 3\\ \frac{7}{2} & -\frac{5}{2}\\ \end{pmatrix}\\ =\begin{pmatrix} -649 & 479\\ -\frac{817}{2} & \frac{603}{2} \end{pmatrix}\]Задание 3
3.156
Чему равен ранг матрицы $A$ при различных значениях $\lambda$?
\[A=\begin{pmatrix} 3 & 1 & 1 & 4\\ \lambda & 4 & 10 & 1\\ 1 & 7 & 17 & 3\\ 2 & 2 & 4 & 3\\ \end{pmatrix}\]Решение
\[\begin{pmatrix} 3 & 1 & 1 & 4\\ \lambda & 4 & 10 & 1\\ 1 & 7 & 17 & 3\\ 2 & 2 & 4 & 3\\ \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1 & 7 & 17 & 3\\ \lambda & 4 & 10 & 1\\ 3 & 1 & 1 & 4\\ 2 & 2 & 4 & 3\\ \end{pmatrix}\\ \sim\begin{pmatrix} 1 & 7 & 17 & 3\\ 0 & 4-7\lambda & 10-17\lambda & 1-3\lambda\\ 0 & -20 & -50 & -5\\ 0 & -12 & -30 &-3\\ \end{pmatrix}\\ \sim\begin{pmatrix} 1 & 7 & 17 & 3\\ 0 & -20 & -50 & -5\\ 0 & 4-7\lambda & 10-17\lambda & 1-3\lambda\\ 0 & -12 & -30 &-3\\ \end{pmatrix}\\ \sim\begin{pmatrix} 1 & 7 & 17 & 3\\ 0 & -20 & -50 & -5\\ 0 & 0 & \frac{\lambda}{2} & -\frac{5\lambda}{4}\\ 0 & -12 & -30 &-3\\ \end{pmatrix}\\ \sim\begin{pmatrix} 1 & 7 & 17 & 3\\ 0 & -20 & -50 & -5\\ 0 & 0 & \frac{\lambda}{2} & -\frac{5\lambda}{4}\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{pmatrix}\]если $\lambda=0$, то $rank(A)=2$
если $\lambda\neq0$, то $rank(A)=3$
3.157
Чему равен ранг матрицы $A$ при различных значениях $\lambda$?
\[A=\begin{pmatrix} 1 & \lambda & -1 & 2\\ 2 & -1 & \lambda & 5\\ 1 & 10 & -6 & \lambda\\ \end{pmatrix}\]Решение
\[\begin{pmatrix} 1 & \lambda & -1 & 2\\ 2 & -1 & \lambda & 5\\ 1 & 10 & -6 & \lambda\\ \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1 & \lambda & -1 & 2\\ 0 & -1-2\lambda & 2+\lambda & 1\\ 0 & 10-\lambda & -5 & -2+\lambda\\ \end{pmatrix}\\ \sim\begin{pmatrix} 1 & \lambda & -1 & 2\\ 0 & -1-2\lambda & 2+\lambda & 1\\ 0 & 0 & -\frac{\lambda^2+2\lambda-15}{2\lambda+1} & 2\frac{\lambda^2-2\lambda+4}{2\lambda+1}\\ \end{pmatrix}\]$rank(A)=3$
3.161
Вычислить ранг матрицы методом элементарных преоброзаваний:
\[\begin{pmatrix} 24 & 19 & 36 & 72 & -38\\ 49 & 40 & 73 & 147 & -80\\ 73 & 59 & 98 & 219 & -118\\ 47 & 36 & 71 & 141 & -72\\ \end{pmatrix}\]Решение
\[\begin{pmatrix} 24 & 19 & 36 & 72 & -38\\ 49 & 40 & 73 & 147 & -80\\ 73 & 59 & 98 & 219 & -118\\ 47 & 36 & 71 & 141 & -72\\ \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 73 & 59 & 98 & 219 & -118\\ 49 & 40 & 73 & 147 & -80\\ 24 & 19 & 36 & 72 & -38\\ 47 & 36 & 71 & 141 & -72\\ \end{pmatrix}\\ \sim\begin{pmatrix} 73 & 59 & 98 & 219 & -118\\ 0 & \frac{29}{73} & \frac{527}{73} & 0 & -\frac{58}{73}\\ 0 & -\frac{29}{73} & \frac{276}{73} & 0 & \frac{58}{73}\\ 0 & -\frac{145}{73} & \frac{577}{73} & 0 & \frac{290}{73}\\ \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 73 & 59 & 98 & 219 & -118\\ 0 & -\frac{145}{73} & \frac{577}{73} & 0 & \frac{290}{73}\\ 0 & 0 & \frac{44}{5} & 0 & 0\\ 0 & 0 & \frac{11}{5} & 0 & 0\\ \end{pmatrix}\\ \sim\begin{pmatrix} 73 & 59 & 98 & 219 & -118\\ 0 & -\frac{145}{73} & \frac{577}{73} & 0 & \frac{290}{73}\\ 0 & 0 & \frac{44}{5} & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{pmatrix}\\ rank\begin{pmatrix} 24 & 19 & 36 & 72 & -38\\ 49 & 40 & 73 & 147 & -80\\ 73 & 59 & 98 & 219 & -118\\ 47 & 36 & 71 & 141 & -72\\ \end{pmatrix}=rank \begin{pmatrix} 73 & 59 & 98 & 219 & -118\\ 0 & -\frac{145}{73} & \frac{577}{73} & 0 & \frac{290}{73}\\ 0 & 0 & \frac{44}{5} & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{pmatrix}=3\]3.180
Найти все значения $\lambda$, при которых вектор $x$ линейно выражается через векторы $a_1,a_2,a_3$
\[a_1=(3,2,6)\\ a_2=(7,3,9)\\ a_3=(5,1,3)\\ x=(\lambda,2,5)\]Решение
\[A=\begin{pmatrix} 3 & 7 & 5 & \lambda\\ 2 & 3 & 1 & 2\\ 6 & 9 & 3 & 5\\ \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 6 & 9 & 3 & 5\\ 0 & \frac{5}{2} & \frac{7}{2} & \lambda-\frac{5}{2}\\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{3}\\ \end{pmatrix}\]то есть,
\[\begin{cases} 6x_1+9x_2+3x_3=5\\ \frac{5}{2}x_2+\frac{7}{2}x_3=\lambda-\frac{5}{2}\\ 0=\frac{1}{3}\\ \end{cases}\]нет решения
3.209
Исследовать совместность и найти общее решение следуюших систем:
\[\begin{cases} x_1+x_2-6x_3-4x_4=6\\ 3x_1-x_2-6x_3-4x_4=2\\ 2x_1+3x_2+9x_3+2x_4=6\\ 3x_1+2x_2+3x_3+8x_4=-7\\ \end{cases}\]Решение
\[\begin{pmatrix} 1 & 1 & -6 & -4 & 6\\ 3 & -1 & -6 & -4 & 2\\ 2 & 3 & 9 & 2 & 6\\ 3 & 2 & 3 & 8 & -7\\ \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1 & 1 & -6 & -4 & 6\\ 0 & 1 & 21 & 10 & -6\\ 0 & 0 & 96 & 48 & -40\\ 0 & 0 & 0 & 9 & -\frac{27}{2}\\ \end{pmatrix}\\ \begin{cases} x_1+x_2-6x_3-4x_4=6\\ x_2+21x_3+10x_4=-6\\ 96x_3+48x_4=-40\\ 9x_4=-\frac{27}{2} \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x_1=0\\ x_2=2\\ x_3=\frac{1}{3}\\ x_4=-\frac{3}{2} \end{cases}\]3.197*
\[f_j(x_i)=\delta_{ij},i,j=1,2,3, \delta_{ij}=\begin{cases} 1,\ i=j\\ 0,\ i\neq j\\ \end{cases}\]Задание 4
4.30
В производльном пространстве $\mathscr{L}_n$ векторы $e_1’,e_2’,\cdots,e_n’$ и $x$ заданы своими координатами в некотором базисе $\mathfrak{B}’=(e_1’,e_2’,\cdots,e_n’)$ базис в $\mathscr{L}_n$, и найти столбец $X’$ координат вектора $x$ в этом базисе.
\[E_1'=\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1\\ \end{pmatrix}, E_2'=\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 2\\ \end{pmatrix} E_3'=\begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 3\\ \end{pmatrix}, X=\begin{pmatrix} 6\\ 9\\ 14\\ \end{pmatrix}\]4.32
В производльном пространстве $\mathscr{L}_n$ векторы $e_1’,e_2’,\cdots,e_n’$ и $x$ заданы своими координатами в некотором базисе $\mathfrak{B}’=(e_1’,e_2’,\cdots,e_n’)$ базис в $\mathscr{L}_n$, и найти столбец $X’$ координат вектора $x$ в этом базисе.
\[E_1'=\begin{pmatrix} 1\\ 2\\ -1\\ -2\\ \end{pmatrix}, E_2'=\begin{pmatrix} 2\\ 3\\ 0\\ -1\\ \end{pmatrix} E_3'=\begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 1\\ 4\\ \end{pmatrix}, E_4'=\begin{pmatrix} 1\\ 3\\ -1\\ 0 \end{pmatrix} X=\begin{pmatrix} 7\\ 14\\ -1\\ 2\\ \end{pmatrix}\]4.73
Проверить ортогональность следующих систем векторов в евклидовом пространстве $R’’$ и дополнить их до ортогональных базисов:
\[e_1=(1,-2,1,3), e_2=(2,1,-3,1)\]4.74
Проверить ортогональность следующих систем векторов в евклидовом пространстве $R’’$ и дополнить их до ортогональных базисов:
\[e_1=(1,1,1,2), e_2=(1,0,0,1,-2), e_3=(2,1,-1,0,2)\]4.87
В задачах установить, какие из заданных отображений пространстве $\mathscr{V}_3$ в себе являются линейными операторами; выписать их матрицы в прямоугольном базисе $\mathfrak{B}=(i,j,k)$
4.90
В задачах 4.90 -4.95 установить, какие из заданных отображений пространства арифметических векторов $R^3$ в се бя являются линейными операторами; выписать их матрицы в каноническом базисе.
\[Ax=(x_2+x_3, 2x_1+x_3, 3x_1-x_2+x_3)\]4.134
В задачах 4.134—4.143 найти собственные числа и собственные векторы линейных операторов, заданных своими матрицами
\[A=\begin{pmatrix} 2, -1, 2\\ 5, -3, 3\\ -1, 0, -2\\ \end{pmatrix}\]4.152
Линейный оператор $А$ в базисе $\mathfrak{B}=(e_1’, \cdots, e_n’)$ имеет матрицу $A$. Найти матрицу сопряженного оператора $A^*$ в том же базисе $\mathfrak{B}’$, если векторы $e_1’,\cdots,e_n’$ заданы столбцами своих координат в некотором ортонормированием базисе $\mathfrak{B}’=(e_1,\cdots,e_n)$:
\[A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 3\\ 0 & 5 & -1\\ 2 & 7 & -3\\ \end{pmatrix}, E_1'= \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 1\\ \end{pmatrix}, E_2'=\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 2\\ \end{pmatrix} E_3'=\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 0\\ \end{pmatrix}\]4.175
В задачах 4.172—4.179 выяснить, какие из заданных матриц линейных операторов можно диагонализировать пе реходом к новому базису. Найги этот базис и соответст вующую ему диагональную форму матрицы.
\[\begin{pmatrix} 2 & -1 & 2\\ 5 & -3 & 3\\ -1 & 0 & -2\\ \end{pmatrix}\]ДЗ по рядам
I. Исследуйте сходимость числовых рядов:
I.1
- а) выясните, сходится или расходится положительный ряд;
расходится
- б) выясните, сходится или расходится знакопеременный ряд; если ряд сходится, установите характер сходимости.
Поэтому $\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n(2n-1)}{2^{2n-1}}$ сходится, а для $\sum_{n=1}^\infty\frac{(2n-1)}{2^{2n-1}}$
\[\begin{split} a_n&=\frac{(2n-1)}{2^{2n-1}}\\ a_{n+1}&=\frac{2n+1}{2^{2n+1}}\\ \lim_{n\to\infty}&=\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{4}<1 \end{split}\]Поэтому $\sum_{n=1}^\infty\frac{(2n-1)}{2^{2n-1}}$ тоже сходится
И $\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n(2n-1)}{2^{2n-1}}$ абсолютно сходится
сходится
I.2
- а) выясните, сходится или расходится положительный ряд;
сходится
- б) выясните, сходится или расходится знакопеременный ряд; если ряд сходится, установите характер сходимости.
Поэтому $\sum_{n=2}^\infty\frac{(-1)^n}{n\ln n}$ сходится, а для $\sum_{n=2}^\infty\frac{1}{n\ln n}$
\[\begin{split} \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}&=\frac{n\ln n}{(n+1)\ln (n+1)}=1\\ \frac{a_n}{a_{n+1}}&=\frac{(n+1)\ln (n+1)}{n\ln n}\\ &=\lambda+\frac{\mu}{n}+\frac{\theta_n}{n^2}(не\ знаю\ как\ здесь\ получить) \end{split}\]если $\lambda>1$ или $\lambda=1$, $\mu>1$, ряд сходится если $\lambda<1$ или $\lambda=1$, $\mu\le1$, ряд расходится
I.3
- а) выясните, сходится или расходится положительный ряд;
сходится
- б) выясните, сходится или расходится знакопеременный ряд; если ряд сходится, установите характер сходимости.
II. Найдите область сходимости степенного ряда
Бусть $x=t+2$, то получается
\[\sum_{n=1}^\infty\frac{n}{(n^2+1)2^n}\cdot t^n\] \[\begin{split} a_n&=\frac{n}{(n^2+1)2^n}\\ a_{n+1}&=\frac{n+1}{((n+1)^2+1)2^{n+1}}\\ R=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{a_{n+1}}&=\frac{2n^3+4n^2+4n}{n^3+n^2+n+1}=2 \end{split}\]при $t=2$, ряд $\sum_{n=1}^\infty\frac{n}{(n^2+1)}$ расходится
при $t=-2$, ряд $\sum_{n=1}^\infty\frac{n(-2)^n}{(n^2+1)2^n}=\sum_{n=1}^\infty\frac{n(-1)^n}{(n^2+1)}$ сходится
Поэтому область сходимости: $-2\le t\lt 2$
т.е $0\le x\lt 4$
Бусть $x=t-1$, то получается
\[\sum_{n=1}^\infty\frac{\sqrt{n+1}}{n^24^n}\cdot t^{2n-1}\] \[\begin{split} a_n&=\frac{\sqrt{n+1}}{n^24^n}\\ a_{n+1}&=\frac{\sqrt{n+2}}{(n+1)^24^{n+1}}\\ R=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{a_{n+1}}&=\lim_{n\to\infty}\frac{4(n+1)^{\frac{5}{2}}}{n^2\sqrt{n+2}}=0\\ \end{split}\]при $t=2$, сходится
Поэтому область сходимости: $t=0$
т.е $x=-1$
записывается в общем виде, получается
\[\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n2^n}{n^2e^n}\cdot x^n\] \[\begin{split} a_n&=\frac{(-1)^n2^n}{n^2\cdot e^n}\\ a_{n+1}&=\frac{(-1)^{n+1}2^{n+1}}{(n+1)^2\cdot e^{n+1}}\\ R=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{a_{n+1}}&=-\frac{(n+1)^2\cdot e^{n+1}}{2^n\cdot n^2\cdot e^n}=-\frac{1}{2}\\ \end{split}\]при $x=-\frac{1}{2}$, ряд $\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{2n}}{n^2\cdot e^n}$ сходится
при $x=\frac{1}{2}$, ряд $\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{n^2\cdot e^n}$ сходится
Поэтому область сходимости: $-\frac{1}{2}\le x\le\frac{1}{2}$
Бусть $x=t+1$, то получается
\[\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{9^n\sqrt[3]{n^2}}\cdot t^{2n}\] \[\begin{split} a_n&=\frac{(-1)^n}{9^n\sqrt[3]{n^2}}\\ a_{n+1}&=\frac{(-1)^{n+1}}{9^{n+1}\sqrt[3]{(n+1)^2}}\\ R=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{a_{n+1}}&=\lim_{n\to\infty}\frac{-9\sqrt[3]{(n+1)^2}}{\sqrt[3]{n^2}}=-9\\ \end{split}\]при $t=-9$, ряд $\sum_{n=1}^\infty\frac{9^n(-1)^{3n}}{\sqrt[3]{n^2}}$ расходится
при $t=9$, ряд $\sum_{n=1}^\infty\frac{9^n(-1)^n}{\sqrt[3]{n^2}}$ расходится
Поэтому область сходимости: $-9\lt t\lt9$
т.е $-8\lt x\lt 10$
Бусть $x=t-2$, то получается
\[\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{3^n\sqrt{n(n+1)}}\cdot t^n\] \[\begin{split} a_n&=\frac{(-1)^n}{3^n\cdot\sqrt{n(n+1)}}\\ a_{n+1}&=\frac{(-1)^{n+1}}{3^{n+1}\cdot\sqrt{(n+1)(n+2)}}\\ R=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{a_{n+1}}&=\lim_{n\to\infty}\frac{-3\sqrt{(n+1\cdot(n+2))}}{\sqrt{n(n+1)}}=-3\\ \end{split}\]при $t=-3$, ряд $\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{2n}}{\sqrt{n(n+1)}}$ расходится
при $t=3$, ряд $\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{\sqrt{n(n+1)}}$ расходится
Поэтому область сходимости: $-3\lt t\lt3$
т.е $-5\lt x\lt 1$
Бусть $x=t+3$, то получается
\[\sum_{n=1}^\infty\frac{n}{4^n\sqrt{n+1}}\cdot t^{2n}\] \[\begin{split} a_n&=\frac{n}{4^n\sqrt{n+1}}\\ a_{n+1}&=\frac{n+1}{4^{n+1}\sqrt{n+2}}\\ R=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{a_{n+1}}&=\lim_{n\to\infty}\frac{4n\sqrt{n+2}}{\sqrt{(n+1)^3}}=\infty\\ \end{split}\]Поэтому область сходимости: $-\infty\lt x\lt\infty$
III. Разложите функции в степенные ряды по степеням х, используя стандартные разложения. Укажите интервалы их сходимости.
-
- a)
-
b)
\[f(x)=\frac{5x^2}{2-4x}\]
-
- a)
-
b)
\[f(x)=\frac{2x}{3+2x^2}\]
-
- a)
-
b)
\[f(x)=\frac{3}{x^3-27}\]