- 4.2. В какой точке линия пересечения плоскостей $3x+2y+z-5=0$ и $x+y-z=0$ пересекает плоскость $4x-y+5z-3=0$?
- 4.3. В какой точке линия пересечения плоскостей $2x+y-z-5=0$ и $x-2y+2z+5=0$ пересекает плоскость $7x+y+z-14=О$?
- 4.4. Решите систему линейных уравнений и найдите фундаментальную систему решений. Запишите ответ в векторном виде:
\[\begin{cases}
x_1-2x_2+4x_3=0\\
3x_1-5x_2+10x_3=0
\end{cases}\]
\[\begin{cases}
x_1+3x_2-x_3=0\\
2x_1+12x_2-4x_3=0
\end{cases}\]
\[\begin{cases}
x_1-2x_2+34x_3=0\\
3x_1-5x_2+79x_3=0
\end{cases}\]
\[\begin{cases}
x_1+2x_2+42x_3=0\\
3x_1+7x_2+109x_3=0
\end{cases}\]
- 4.5. Исследуйте системы линейных уравнений на совместность:
\[\begin{cases}
x_1+2x_2-3x_3+x_4=1\\
2x_1-x_2+2x_4=3\\
5x_2-6x_3+4x_4=5
\end{cases}\]
\[\begin{cases}
3x_1+x_2+5x_3+x_4=2\\
-x_1+4x_2+x_3+3x_4=1\\
-5x_1+7x_2-3x_3+5x_4=2
\end{cases}\]
- 4.7. При каких значениях параметра а система линейных уравнений совместна
\[\begin{cases}
x_1-x_2+2x_3=3\\
2x_1+5x_3=7\\
x_1+x_2+(a+9)x_3=6
\end{cases}\]
\[\begin{cases}
x_1+2x_2-x_3=3\\
2x_1+6x_2-5x_3=7\\
x_1+6x_2-7x_3=a+3
\end{cases}\]
- 4.12. Предприятие выпускает 3 вида изделий с использованиемдвух видов сырья. Для продукции ценовой вектор $\vec{p}$, вектор наличного сырья $\vec{s}$, нормы расходов сырья даны элементами матрицы $A$. Требуется определить максимальную стоимость продукцииР и оптимальный вектор-план выпуска продукции $\vec{q}=(q_1;q_2;q_3)$ при полном использовании всего сырья, т. е. надо найти максимум $P=\vec{р}\cdot\vec{q^T}$, если $\vec{q}$ — решение системы $A\cdot\vec{q^T}=\vec{s^T}$. При решении следует учесть, что все величины $q_1$, $q_2$, $q_3$ неотрицательны.
\[\vec{p}=(6;20;100), \vec{s}=(38;96), A=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 7\\
2 & 3 & 18
\end{pmatrix}\]