MainPage/Probability Theory/PracticeWork 6
Практическая работа
Вариант 4
Задание 1
Масса 13 шайб, г:
154 152 146 161 148 153 159 160 154 146 150 155 161
Построить доверительный интервал для оценки генеральной средней при заданной доверительной вероятности $\gamma=0.99$.
Решение
В данном случае объем выборки мал и нужно использовать формулу
\[\overline{X}-t_{\frac{\gamma+1}{2}}(n-1)\frac{s}{\sqrt{n}}\lt m\lt \overline{X}+t_{\frac{\gamma+1}{2}}(n-1)\frac{s}{\sqrt{n}}\]В примере практически все частоты значений признака имеют значения единицы, поэтому используем формулу простых средних
\[\overline{X}=\frac{\sum x_i}{n}=\frac{154+152+146+161+148+153+159+160+154+146+150+155+161}{13}=\frac{1999}{13}\approx153.77\] \[\sum x_i^2=154^2+152^2+146^2+161^2+148^2+153^2+159^2+160^2+154^2+146^2+150^2+155^2+161^2=307729\] \[D(X)=\frac{\sum x_i^2}{n}-\overline{X}^2=\frac{307729}{13}-153.77^2\approx26.25\]Исправленное среднее квадратическое отклонение связано с дис персией следующим соотношением:
\[s^2=\frac{n}{n-1}\cdot D(X)=\frac{13}{12}\times 26.25\approx28.44\] \[s=\sqrt{s^2}=\sqrt{28.44}\approx5.33\]Далее по таблице квантилей распределения Стьюдента находим квантиль $t_{\frac{\gamma+1}{2}}(n-1)$
\[\gamma=0.99, n=13, \frac{1+\gamma}{2}=0.995, t_{0.995}(12)=3.055\]подставляем:
\[153.77-3.055\times\frac{5.33}{\sqrt{13}}\lt m\lt153.77+3.055\times\frac{5.33}{\sqrt{13}}\]Получаем доверительный интервал:
\[149.25\lt m\lt 158.29\]Задание 2
Известна следующая информация о выборке:
$n=150, \sum x_i=1623, \sum x_i^2=17814.36$
Построить доверительный интервал для оценки генеральной вредней при заданной доверительной вероятности $\gamma=0.96$.
Решение
В данном случае объем выборки велик, используем формулу
\[\overline{X}-\frac{t_\gamma\sigma}{\sqrt{n}}\lt m\lt\overline{X}+\frac{t_\gamma\sigma}{\sqrt{n}}\]Поскольку суммы уже даны по условию, объем вычислений сокращается.
\[\overline{X}=\frac{\sum x_i}{n}=\frac{1623}{150}=10.82\] \[\sigma^2=\frac{\sum(x_i-\overline{X})^2}{n}=\frac{\sum x_i^2}{n}-\overline{X}^2=\frac{17814.36}{150}-10.82^2=1.69\] \[\sigma=\sqrt{1.69}=1.3\]По заданной доверительной вероятности $\gamma$ и таблице распре деления нормального закона $\Phi(x)$ (см. прнл. 1) определяем $t_\gamma$: $\Phi(t_\gamma)=\frac{1+\gamma}{2}$.
\[\Phi(t_\gamma)=\frac{1+0.96}{2}=0.98\]по таблице (см. прил. 1) $t_\gamma=2.576$
подставляем:
\[10.82-\frac{2.576\times 1.3}{\sqrt{150}}\lt m\lt 10.82+\frac{2.576\times 1.3}{\sqrt{150}}\]получим:
\[10.55\lt m\lt 11.09\]Индивидуальные задания
Распределение буквы «ц» в отрывках равной величины из со чинений А.П. Чехова:
| Число букв «ц» | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| Число отрывков | 752 | 207 | 38 | 3 | 0 |
При заданном уровне значимости $\alpha = 0.01$ проверить гипотезу о том, что выборка имеет распределение Пуассона.
Решение
\[\widehat{\gamma}=\overline{X}=\frac{0\times752+1\times207+2\times38+3\times3+4\times0}{1000}=0.292\]Далее, используя закон распределения Пуассона, вычисляем теоретические вероятности $p$, по формуле
\[p_i=\frac{\widehat{\gamma}^i}{i!}\cdot e^{-\widehat{\gamma}}\]Теоретические частоты определяются следующим образом: $n_i=n\cdot p_i$, полученные величины теоретических частот округляем до целых.
Результаты вычислений оформим в виде таблицы:
| i | $n_i$ | $p_i$ | $n_i^*$ |
|---|---|---|---|
| 0 | 752 | 0.746768536 | 747 |
| 1 | 207 | 0.218056413 | 218 |
| 2 | 38 | 0.031836236 | 32 |
| 3 | 3 | 0.003098727 | 3 |
| 4 | 0 | 0.000226207 | 0 |
| $\sum$ | 1000 | 1000 |
Видно, что для последних строк таблицы не выполнено условие $n\cdot p_i \gt5$; в данном случае для его выполнения нужно объединить последние три строки. В итоге таблица примет следующий вид:
| i | $n_i$ | $n_i^*$ | $\frac{(n_i-n_i^)^2}{n_i^}$ |
|---|---|---|---|
| 0 | 752 | 747 | 0.033467202 |
| 1 | 207 | 218 | 0.555045872 |
| >=2 | 41 | 35 | 1.028571429 |
| $\sum$ | 1000 | 1000 | 1.617084502 |
По заданному уровню значимости $\alpha=0.01$ и таблице квантилей распределения $\chi^2$ находим квантиль порядка $1-\alpha$ с $k-l-1$ степенью свободы и определяем $\chi_{критич.}^2=\chi_{1-\alpha}^2(k-l-1)$.
Параметр $k$ равен числу групп после объединения малочисленных групп: $k=3$,
Параметр $l$ равен числу неизвестных параметров, от которых зависит распределение; для распределения Пуассона $l = 1$. Получаем $k-l-1=1$, далее $1 - \alpha = 1 - 0.01 = 0.99$.
Таким образом,
\[\chi_{критич.}^2=\chi_{1-\alpha}^2(k-l-1)=\chi_{0.99}^2(1)=6.63\]Сравниваем: $\chi_{набл.}^2=1.617\lt \chi_{критич.}^2=6.63$. Наблюдаемое значение меньше критического, следовательно, гипотеза о распределении числа отказов по закону Пуассона принимается.